Лекція 10 Тема Кручення Кручення це такий вид деформації стержня, який спричиняється моментами, що діють в площині, перпендикулярній до його осі



Дата конвертації30.12.2016
Розмір85.8 Kb.
Лекція 10
Тема 6. Кручення
Кручення – це такий вид деформації стержня, який спричиняється моментами, що діють в площині, перпендикулярній до його осі.

Приклади з практики: кручення валів, стержнів рам та ін.

Методом поперечних перерізів визначаємо, що внутрішній силовий фактор – крутний момент .

– зовнішні моменти;

– внутрішні моменти.

6.1. Побудова епюр крутних моментів

.

Крутний момент в будь-якому поперечному перерізі дорівнює сумі зовнішніх моментів, взятих по одну сторону від перерізу. Причому вважається додатнім, якщо при спостереженні зі сторони перерізу він повертає частину вала проти годинникової стрілки.

Для побудови епюри розбиваємо вал на ділянки.

I діл. ;

II діл.;

III діл. .

У випадку дії розподіленого моменту .

Якщо задано потужність N, Вт на шківі чи шестерні, насаджених на валу, і частоту обертання n,об/хв або кутову швидкість вала ,c-1, крутний момент можна знайти за формулами; .

6.2. Напруження і деформації при крученні круглих валів
Циліндричний вал навантажено крутним моментом . В закріпленні виникає момент реакції опори, рівний.Система знаходиться в рівновазі.

При крученні твірна стає спіральною лінією.



– кут закручування ;

– відносний кут закручування;

– кут зсуву.

Досвідом встановлено:

1. При крученні плоскі поперечні перерізи залишаються плоскими (гіпотеза плоских перерізів).

2. Відстань між поперечними перерізами не змінюється.

3. Радіуси на торцевих поверхнях залишаються прямими.

При крученні в поперечних перерізах діють дотичні напруження . Задача визначення статично невизначна, тому що невідомий закон розподілу по перерізу.



1. Статичні рівняння рівноваги.

;

. (6.1)

Це є інтегральне рівняння рівноваги при крученні.



2. Геометричне рівняння.

,

– кут закручування елемента довжиною .

Прирівнюючи праві частини рівностей, одержимо. Звідси. В шарі з радіусом маємо . (6.2)



3. Фізичне рівняння.

Матеріал вала знаходиться в умовах чистого зсуву. Закон Гука при зсуві (6.3).



4. Розв’язуємо систему рівнянь (6.1), (6.2), (6.3):

(6.4)

; ; – полярний момент інерції;

; , (6.5)

– жорсткість поперечного перерізу при крученні.

; (6.6)

(6.7)

; – полярний момент опору ; (6.8).

6.3. Розрахунок валів на міцність і жорсткість

Умова міцності


- для перевірного розрахунку. (6.9)

- для проектувального розрахунку. (6.10)

Суцільний вал



.

Трубчастий (стержень) вал



Підставляючи значення в (6.10), одержимо



для суцільного вала; (6.11)

- для трубчастого вала. (6.12)
Умова жорсткості

– для перевірного розрахунку. (6.13)

- для проектувального розрахунку. (6.14)

Підставимо значення в (6.14), одержимо



– для суцільного вала (6.15);

- для трубчастого вала (6.16).

Допустимі відносні кути повороту:



- статичне навантаження; - змінне навантаження;

- ударне навантаження.

М
етодика розрахунку валів


1. Вибираємо розрахункову схему.
2. Будуємо епюру Мкр. Визначаємо небезпечний переріз, де діє максимальний Мкр.

3. Визначаємо d з умови міцності (11) або (12).

4. Перевіряємо на жорсткість за умовою (13).

5.Якщо умова (13) не задовольняється, визначаємо d з умови жорсткості (15) або (16). З двох значень діаметра, визначених з умов міцності і жорсткості, вибираємо більший.


Лекція 11

6.4. Розв’язання статично невизначних задач при крученні

Дано:

Визначити: діаметр стержня d.




1) Статичне рівняння

; . (1)

2) Геометричне рівняння



.. (2)

3) Фізичні рівняння



. (3)

4) Розв’язуємо систему рівнянь

. (4)

Із (1) і (4) маємо: . Якщо , .


6.5. Кручення стержнів некруглого поперечного перерізу
В інженерній практиці кручення зазнають стержні некруглих поперечних перерізів (прямокутних, трикутних, еліптичних і т.п.)

Для таких стержнів гіпотеза плоских перерізів незастосовна. Поперечні перерізи викривляються, тобто відбувається їх депланація. Дотичні напруження і деформації знаходять методами теорії пружності. Формули для розрахунків:





– момент опору при крученні;

– момент інерції при крученні.

Тільки для круглого перерізу

Для інших перерізів ,знаходять за довідником. Для прямокутного перерізу

; ( h>b ).

Коефіцієнти і - за таблицею в залежності від .



– за таблицею в залежності від .

Небезпечні точки, де діють max, лежать посередині довшої сторони.

Умови міцності і жорсткості:

; . (6.17)
6.6. Кручення стержнів з замкненим тонкостінним профілем
Розглянемо стержень з некруглим тонкостінним профілем. Товщина стінки  змінюється по контуру. Оскільки стінка тонка, будемо вважати, що по товщині однакові і направлені по дотичній до середньої лінії.

На елементарну площадку довжиною dS діє сила  dS, яка створює відносно центра ваги перерізу елементарний момент , де - площа елементарного трикутника.



.

Щоб визначити інтеграл, розглянемо рівняння рівноваги вирізаного із стержня елемента довжиною dx, . Звідси .



. Звідси

- формула Бредта. (6.18)

Тут – площа, обмежена середньою лінією, - товщина стінки у тому місці, де визначаються напруження.

Умова міцності

Відносний кут закручення



. Момент інерції при крученні .

Якщо не змінюється по довжині контура S,



; S – довжина середньої лінії; .

Для тонкостінної труби



; ;


Для прямокутного профілю

; ; ; . Слід мати на увазі, що формула дає задовільні значення  лише на певній відстані від кутових точок профілю.
Лекція 12
6.7. Кручення стержнів відкритого тонкостінного профілю
Розбиваємо профіль на прямокутні елементи, товщина яких значно менша довжини.

Для прямокутного елемента .

При .

Для всього профілю ; (6.19) n – число елементів;



­­– коефіцієнт, що враховує схематизацію профілю.

Кутовий профіль - ;

Двотавр - ;

Тавр - ;

Швелер - .

Якщо товщина однакова для всіх елементів, , де S – сумарна довжина всіх елементів.

Відносний кут закручування . (6.20)

Визначимо .

Для всіх елементів кут – однаковий і рівний куту закручування всього профілю



; ; .

Максимальне дотичне напруження в і-му елементі



. (6.21)

Максимальні дотичні напруження в стержні діють посередині довгих сторін елемента, що має найбільшу товщину, .

Умова міцності

. (6.22)
Приклад.

Порівняти для суцільної і розрізаної труби і при однаковому .

Суцільна труба: ; ; .

.

Розрізана труба:



.

;

Відношення напружень і деформацій розрізаної і суцільної труби: . Для .


6.8. Розрахунок гвинтових циліндричних пружин


Пружини широко розповсюджені в техніці. Виготовляються з сталевого дроту, сталевих стержнів. Параметри пружини:

діаметр пружини ;

діаметр дроту d;

крок пружини t;

кількість витків n.


6.8.1. Визначення напружень


Визначимо напруження , що виникають у поперечному перерізі стержня пружини. Для цього відріжемо останній виток пружини вертикальною січною площиною, що проходить через вісь пружини, і розглянемо умови рівноваги відрізаного витка.

Для пружин з невеликим кутом нахилу витків (10...15°) переріз має форму близьку до круга.

Площина, в якій діє майже перпендикулярна до осі стержня. Тому можна вважати, що момент викликає лише кручення стержня. Згином можна знехтувати. Крім того, сила Р намагається зрізати стержень. Таким чином, в поперечному перерізі діє поперечна сила Q=P і крутний момент .

Діють дві групи , спричинені поперечною силою і згинальним моментом:



В точці А. .



.

. (6.23)

Оскільки для більшості пружин ,



. (6.24)

Тобто вважають, що стержень працює тільки на кручення. Зрізом нехтують.

Потужні гвинтові ресори, що використовуються в залізничному транспорті, розраховуються за формулою (6.23).

Досвід показує, що перші тріщини утворюються на внутрішній поверхні витка (в т.А), де діють .



6.8.2. Визначення осадки (видовження) пружини

Якщо враховувати деформацію дроту пружини тільки від кручення, тоді потенціальна енергія деформації, накопичена в пружині,



, де - кут закручення дроту пружини довжиною ; . Звідси

. (6.25)

Підставляючи значення і в (6.25), одержимо .

З другої сторони, робота зовнішньої сили Р .

За законом збереження енергії . Звідси ; . (6.27)




6.8.3. Розрахунок пружин на міцність і жорсткість

Умова міцності пружини . (6.28)

Для загартованої пружинної сталі

Умова жорсткості . (6.29)



Приклад






Дано: ; ;

Визначити: напруження в пружинах і осадку пружин λ

Задача статично невизначна.

1) Статичне рівняння . (1)

2) Геометричне рівняння . (2)

3) Фізичні рівняння ; . (3)



; ; ; .

; ; .

;

; .





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка