Лекція №1. Аксіоми стереометрії ( 2 години). Обладнання : комп'ютер, пакет демонстраційних програм, моделі



Скачати 471.87 Kb.
Сторінка1/4
Дата конвертації01.05.2017
Розмір471.87 Kb.
  1   2   3   4


Свириденко Олена Леонідівна,

вчитель математики

Кіровоградського обласного

загальноосвітнього

навчально-виховного комплексу

гуманітарно-естетичного профілю

(гімназія-інтернат-школа мистецтв)
Модульна розробка по темі: «Початки стереометрії»

(геометрія, 10 клас)



Лекція №1. Аксіоми стереометрії

( 2 години).

Обладнання: комп'ютер, пакет демонстраційних програм, моделі

многогранників.


Мета: ознайомити учнів з найпростішими фігурами в просторі, базисними твердженнями, основними об'єктами стереометрії і правилами їх зображення.
План.

  1. „Вихід в простір”.

  2. Про стереометрію.

  3. Аксіоми стереометрії:

♦ площини;

♦ перетину площин;

належності прямої площині;

♦ розбиття простору площиною.

Не секрет, що багато учнів не мають достатньо розвинуту просторову уяву. На першій лекції учням пропонуються нестандартні задачі для розвитку просторового уявлення, завдання, які „виведуть” думку учнів в простір.

Завдання 1.

Розділіть сир трьома розрізами на вісім частин.

Завдання 2.

З шести сірників складіть чотири правильних трикутника так, щоб стороною кожного був цілий сірник.( Правильний тетраедр з ребром, яке дорівнює довжині сірника).

Завдання 3.

Які кубики відрізняються від першого тільки розміщенням у просторі?




● ● ● ● ● ●

● ●

● ●


● ●

● ● ● ● ●

● ●
Завдання 4.

Скільки граней у шестигранного олівця?(Вісім, якщо олівець не підточений)

Завдання 5.

Які з фігур на малюнку є розгортками куба?



1 2 3 4
На другому етапі лекції вчитель розповідає про стереометрію, проводячи аналогію між основними поняттями планіметрії і стереометрії.

Геометрія на площині - планіметрія, геометрія в просторі – стереометрія (від грецьких слів „стереос” – просторовий, „метрео” – вимірюю). В планіметрії площина розглядається сама по собі, незалежно від оточуючого простору, але ми все ж таки пам'ятаємо, що площина розташована в просторі і, що в ньому багато площин. Таким чином, в геометрії площина – це фігура, на якій виконується планіметрія. Можна не пам’ятати всіх аксіом планіметрії, необхідно тільки розуміти, що площина – це фігура, в якій точки, прямі, відрізки, кути з їх основними властивостями, а за ними і інші відомі фігури: трикутники, кола і так далі. Властивостями цих плоских фігур, теоремами про них, доведеними в планіметрії, ми будемо постійно користуватись.

Важливими об’єктами стереометрії є просторові фігури, які не належать ні якій площині: наприклад, куля, сфера, куб, паралелепіпед, призма, піраміда

( показати моделі цих просторових фігур або продемонструвати їх зображення за допомогою комп’ютера).

Дамо описи деяких многогранників, тому, що на перших уроках будуть розв'язані задачі з використанням цих просторових фігур.



Куб – це многогранник, у якого шість граней і всі вони квадрати.

Паралелепіпед – це многогранник, у якого шість граней і всі вони паралелограми. У прямокутного паралелепіпеда всі грані - прямокутники.

n-кутна призма – це многогранник з n+2 гранями, з яких дві, які називаються основами, - рівні n-кутники, а інші n граней – паралелограми, які називаються бічними гранями призми. Таким чином паралелепіпед – це призма, в основі якої - паралелограм.

Правильна n-кутна призма – це така призма, у якої всі бічні грані – прямокутники, а кожна основа – правильний n-кутник.

Піраміда – многогранник, у якого одна грань многокутник, а інші – трикутники з спільною вершиною. Перша грань називається основою піраміди, решта – бічними гранями, їх спільна вершина називається вершиною піраміди. Сторони граней піраміди називаються її ребрами. Найпростішим видом пірамід є трикутна, яку називають тетраедром (чотиригранник).

Правильна піраміда – це піраміда, основа якої правильний многокутник, а всі бічні ребра рівні.

Правильний тетраедр – це тетраедр, у якого всі грані – правильні трикутники.

При зображенні неплоских фігур ми будемо користуватись найпростішими правилами:



  1. Площини на малюнках зображають іноді у вигляді паралелограма, але

частіше у вигляді довільної області.



α


  1. Паралельні прямі (відрізки) на малюнках зображають паралельними відрізками.

  2. Середина відрізка зображається як середина його зображення.

Всі фігури, які належать площині, називаються в стереометрії так само, як і в планіметрії: відрізки, трикутники, кола і т.д. Найпростішими фігурами в просторі є точка (позначаються великими латинськими літерами А, В, С...) і площина (позначаються грецькими літерами α, β, γ...).



Площинами називають фігури, на яких справджуються аксіоми стереометрії.
АКСІОМА 1 (площини С).

В просторі існують площини. Через кожні три точки простору проходить площина.

Позначення:



А є α

(точка належить площині α).



а є α

(точка належить площині α).

площині α).

Із аксіоми випливає:


  1. площина проходить не тільки через кожні три точки, а через кожні одну або дві точки;

  2. множина точок простору нескінченна ( в просторі є площини, а на кожній площині, як відомо з планіметрії, множина точок нескінченна);

  3. в просторі через кожні дві точки проходить пряма (на площині через кожні дві точки проходить пряма).

АКСІОМА 2 (перетину площин С).



Якщо дві площини мають спільну точку, то їх перетин – спільна пряма.




α

β




B • A


α •

• A β


B


=а.

Те, що перетин площин α і β є їх спільна пряма, означає, що вона є прямою як на одній, так і на другій площині і найкоротша відстань між двома їх спільними точками А і В на площині α така сама, як і на β. Для інших поверхонь це може бути зовсім не так. Найкоротший шлях від А до В на поверхні β іде по дузі АВ, а на площині α – по відрізку АВ.

В аксіомі 2 йдеться про те, що у цих площин немає спільних точок, крім точок на їх спільній прямій.


Визначення. Дві площини, які мають спільну точку (тобто спільну пряму),

перетинаються.
Із аксіом 1 і 2 випливає, що для кожної площини α в просторі існують точки, які не належать α. Дійсно, за аксіомою 1 в просторі існує хоча б одна площина β, відмінна від α. Якщо α і β не мають спільної точки, то кожна точка площини β не належить α. Якщо ж α і β мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Тоді будь-яка точка площини β, яка не належить цій прямій, не лежить в площині α.
АКСІОМА 3 (належності прямої площині С).

Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона належить цій площині.

.
Визначення. Пряма і площина, які мають єдину спільну точку

перетинаються.

Перед тим, як сформулювати аксіому 4, треба згадати про аналогічну аксіому планіметрії.

Півплощина, обмежена прямою а, має такі властивості:


  1. вона містить пряму а, але не співпадає з нею;

  2. якщо точки А і В належать півплощині, але не прямій а, то відрізок АВ не має з а спільних точок;

  3. якщо точка А належить півплощині, а В - ні, то відрізок АВ має з прямою а спільну точку.





B

α B • A •

α

a

A • a





АВ ∩ а АB ∩ а

Визначення. Півпростором, обмеженим площиною α, називається фігура із

наступними властивостями:

  1. вона містить площину α, але не співпадає з нею;

  2. якщо точки А і В належать фігурі, але не площині α, то відрізок АВ не має з α спільних точок;

  3. якщо точка А належить фігурі, а В – ні, то відрізок АВ має з α спільну точку.

A

B • •

• B




α α


• C

A
АВ ∩ α = С АВ ∩ α


АКСІОМА 4 ( розбиття простору площиною С).

Кожна площина розбиває простір на два півпростори.

З цієї аксіоми випливає, що:

1) для кожної площини α існує рівно два півпростори, обмежені площиною α, вона є їх спільним кордоном, а їх об’єднання складає весь простір;

2) фігури лежать по один бік від площини, якщо вони належать одному з півпросторів, обмежених даною площиною.


АКСІОМА 5 ( відстані С).

Відстань між будь-якими двома точками простору не залежить від того, на якій площині, де містяться ці точки, вона виміряна.

На кожній площині будь-яким двом точкам відповідає додатна величина – відстань між двома точками, тобто довжина відрізка, який їх з’єднує. Хоча ті точки належать різним площинам, відстань між ними на кожній з цих площин буде однаковою.

Ця аксіома дозволяє порівнювати фігури на різних площинах, застосовувати теореми про рівність і подібність трикутників, розташованих в різних площинах.
Визначення. Дві фігури називаються рівними, якщо існує відповідність між

їх точками, при якій відстані між парами відповідних точок

рівні.
Визначення. Фігура F називається подібною фігурі F з коефіцієнтом к > 0,

якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність

точку фігури F так, що для кожних двох точок X і Y фігури F і

відповідних їм точок X і Y фігури F має місце рівність

XY = к XY.
Завдання для закріплення


  1. Сформулюйте аксіоми стереометрії.

  2. Наведіть приклади моделей, які ілюструють аксіоми стереометрії.

  3. Запишіть в символьній формі і виконайте малюнки:

♦ площина α проходить через точки А і В і не проходить через точку С;

♦ пряма АВ перетинає площину α в точці О;

♦ площини α і β перетинаються по прямій а.


  1. Прочитайте символьні записи, виконайте малюнки і доведіть твердження:

а) Дано: а ∩ α = А; в ∩ α = В; а ∩ в = С; С α. Доведіть, що В а.

б) Дано: α ∩ β = а; М є α; М а. Доведіть, що М β.




Домашнє завдання.
Скласти опорний конспект до лекції.

  1. В просторі задана деяка пряма. Наведіть приклад такої поверхні, яка з цією прямою має: а) рівно одну спільну точку; б) рівно дві спільні точки;

в) рівно n спільних точок; г) нескінченну множину точок.

  1. В просторі задана деяка площина. Наведіть приклад такої неплоскої лінії, яка з цією площиною має: а) рівно одну спільну точку; б) рівно дві спільні точки; в) рівно n спільних точок; г) нескінченну множину точок.


Практичне заняття №1. Аксіоми стереометрії.

Перерізи многогранників

( 2 години).
Мета: сприяти набуттю вмінь і навичок учнями по застосуванню аксіом стереометрії до доведення тверджень, розв’язування задач, зображення многогранників і побудови їх перерізів; розвивати мову, мислення, пізнавальний інтерес, активність і самостійність.

І. Перевірка домашнього завдання

ІІ. Актуалізація опорних знань

Пропонуємо учням сформулювати аксіоми стереометрії, зробити відповідні малюнки і символьні записи до них. Потім учні дають усний опис властивостей многогранників за моделями (прямокутний паралелепіпед, трикутна призма, куб, тетраедр, п'ятикутна піраміда, правильний тетраедр).


ІІІ. Мотивація навчання

Аксіоми стереометрії – це той фундамент, на якому будується теорія геометрії в просторі. Зображення многогранників і їх перерізів допоможе нам в розв'язанні багатьох прикладних задач, можливо пов'язаних з вашою майбутньою професією.


ІV. Набуття вмінь і навичок
Пропонуємо задачі, які підібрані за зростанням рівня складності. Розв'язання відбувається під керівництвом вчителя з обов'язковими символьними записами.


  1. Чи можна провести площину через три точки, які належать одній прямій? А через чотири точки, які належать одній прямій? Якщо можна, то скільки?

  2. Задача-жарт. Три мухи розлетілися в різні боки. За яких умов вони будуть в одній площині?

  3. Скільки площин можна провести через дві дані точки?

  4. Чотири точки не лежать в одній площині. Скільки площин можна провести через трійки цих точок?

  5. Доведіть, що в просторі існує безліч площин.

  6. Точки А, В, С, D не лежать в одній площині. Доведіть, що ніякі три з них не лежать на одній прямій.

  7. Дано дві прямі, які не лежать в одній площині. Через кожну з них проведено площину, що перетинає другу пряму. Доведіть, що пряма перетину цих площин перетинає кожну з даних прямих.


V. Сприйняття та усвідомлення поняття „переріз многогранника”
Використовуючи аксіому 2 про перетин в просторі двох площин, можна знаходити перетин площин з многогранниками – перерізи многогранників.

Визначення. Перерізом фігури F площиною α називається фігура, яка



складається із спільних точок фігури F і площини α.
Задача №1. Нехай РАВС правильний тетраедр, точка О – центр грані АВС, точка К – середина ребра АВ. Намалюйте переріз тетраедра площинами: а) АРО; б) КРО. Намалюйте спільний відрізок цих перерізів.
Р

Звертаємо увагу учнів на видимі і

невидимі лінії, зображення медіан

трикутника АВС, доцільно

використати кольорову крейду.

При розв'язуванні можна поставити

А B такі запитання:

O

1. Яка спільна точка площин



К (АРО) і (СРВ)?

2. Чи мають спільну точку

площини (СРО) і (АРВ)?

3. Який відрізок спільний для

трикутників АРМ і СРК?

Розв'язуємо задачу на готових малюнках. Можна використати демонстраційну програму на комп'ютері.


Задача №2. Учень намалював переріз тетраедра площиною, причому на малюнку а) точка Q – в грані АВС, на малюнку б) точка К – в грані РАС, на малюнку в) точка К – в грані РАС, точка L – в грані РВС, на малюнку г) точка К – в грані РАВ, точка L – в грані РАС, точка М – в грані РВС. Чи є помилки на малюнках?



P
B

A Q
C

a)



P

L


K

B

A


C

б)



P




K L

B

A


C

в)



P
K




L M

B

A


C

г)



P
E
D

B

A


C

д)



P
D



A B

F

E

C



e)


P
L

K M B

A

N

C



є)


P
L M

B

A



K N

C

ж)




Задача №3. Нехай РАВС – правильний тетраедр з ребром а. Точка М – середина ребра РВ, L – середина ребра АС, точка К – середина ребра ВС, точка N – середина ребра РА, точка О – середина ребра РС. Знайдіть довжину спільного відрізка таких перерізів тетраедра: а) АМС і РLВ; б) РКА і РLВ; в) РLВ і СМN;

г) РLВ і ВND; д) РLВ і МNВ; е) АСМ і ВLD; є) АКD і ВNL; ж) СМN і КОL;

з) КМN і АМС.

Колективно розв’язуємо а).

З’ясовуємо, що спільний відрізок перерізів АМС і РLВ – відрізок LМ. Розглядаємо трикутник АМС: АМ = СМ (медіани рівних рівносторонніх трикутників), P

M

N •


O •

A B

L К


С

Робота в групах (розв'язуємо приклади б, в, г, д).


  1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка