Лекція №1 1 елементи теорії похибок 1 Точні І наближені числа. Джерела похибок. Класифікація похибок



Скачати 266.38 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір266.38 Kb.

Числові методи

Конспект лекцій

Лекція №1

1 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК


1.1 Точні і наближені числа. Джерела похибок. Класифікація похибок

1.2 Абсолютна і відносна похибки

1.3 Десятковий запис наближених чисел. Значуща цифра числа. Дійсна значуща цифра

1.4 Зв’язок між числом дійсних знаків і похибкою числа

1.5 Похибка функції. Похибки суми, різниці і добутку

1.6 Обчислювальний експеримент та його основні етапи. Поняття стійкості та коректності



  Джерела інформації


1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.

4. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1988.

5. Численные методы / Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша и др. – М.: Висшая шк., 1976. – 368 с.

6. Иванов В. В. Методы вычислений на ЕВМ. – Киев: Наук. 1986. – 584 с.

 

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Визначити граничні абсолютні похибки наближених чисел а=96,387 і в=9,32, якщо вони містять тільки вірні цифри в вузькому та широкому понятті розуміння відповідно.

2. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а=14,278 якщо вона містить тільки вірні цифри в широкому понятті розуміння.

3. Визначити значення функції y=cos(x) для наступних значень аргументу:

4. x=80;x=1.

5. Порахувати граничні абсолютну та відносну похибки результату.

6. Знайти добуток наближених чисел та , всі цифри яких вірні.

7. Виконати послідовні округлення наступних чисел: а) 2,75464; б) 3,14159; в) 0,56453; г) 4,1945; д) 0,60653.

Відповіді: а) 2,7546; 2,755; 2,75; 2,8; 3; б) 3,1416; 3,142; 3,14; 3,1; 3; в) 0,5645; 0,565; 0,56; 0,6; 1; г) 4,194; 4,19; 4,2; 4; д) 0,6065; 0,607; 0,61; 0,6; .

8. Округляючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну і відносну (у відсотках) похибки отриманих наближень: а) 1,1426; б) 0,01015; в) 0,1245; г) 921,55; д) 0,002462.



Відповіді: а) 1,14; = 0,0026; = 0,23%; б) 0,0102; = 0,00005; = 0,5%; в) 0,124; = 0,0005;= 0,41%; г) 922; = 0,45; = 0,049%; д) 0,00246 = 0,000002; = 0,082%.

9. Визначити абсолютну похибку наступних наближених чисел по їх відносній похибці: а) x = 2,52; = 0,7%; б) x=0,986; = 10%; в) х= 46,72; = 1%; г) x = 199,1; = 0,01; д) х = 0,86341; = 0,0004.



Відповіді: а) 0,018; б) 0,099; в) 0,047; г) 2,0; д) 0,00035,

10. Визначити кількість вірних значущих цифр у вузькому і широкому змісті для наступних наближених чисел: а) 39,285 ± 0,034; 6) 1,2785 ± 0,0007]; в) 183,3 ±0,1; г) 0,056 ± 0,0003; д) 84,17 ± 0,0073.



Відповіді: а) 3 і 3; б) 4 і 4; в) 3 і 4; г) 2 і 2; д) 3 і 4.

11. Визначити, яке з рівностей точніше: а) 6/25 1/4 чи 1/3 0,333; б) 1/9 0,1 чи 1/3 0,33; в) 15/7 2,14 чи 1/9 0,11; г) 6/7 0,86 чи 22/7; д) = 3,142 чи .



Вказівка. Попередньо знайти граничні відносні похибки. Більш точним є та рівність, гранична відносна похибка якої менше.

Відповіді: а) друге; б) друге; в) перше; г) друге; л) друге.

12. Округлити сумнівні цифри числа а = 47,453 ± 0,024, залишивши в ньому вірні знаки у вузькому змісті.



Відповідь: а = 47,5.

13. Округлити сумнівні цифри числа а = 46,3852 ± 0,0031, залишивши в ньому вірні знаки в широкому змісті.



Відповідь: 46,39.

14. Округлити сумнівні цифри наближеного числа а == 3,2873, якщо = 0,1%, залишивши в ньому вірні знаки в широкому змісті.



Відповідь: 3,29.

15. Знайти граничні абсолютні і відносні похибки наближених чисел, якщо вони мають тільки вірні цифри: а) а = 0,7538 (у вузькому змісті); б) а = 17,354 (у широкому змісті).



Вказівка. Використовувати формулу (1.34) п. 1.6.

Відповіді: а) ; =0,0075%; б) =0,001; =0,01%.

16. Вкажіть основні етапи обчислювального експерименту.

17. Вкажіть, що включає етап вибіру чисельного методу розв‘язання математичної моделі

18. Вкажіть, що включає етап тестування розроблених програмних засобів на відомих моделях. Для чого він використовується?

19. Вкажіть, що включає етап аналізу результатів дослідження і застосування.

20. Як аналізується чутливість математичної моделі до неточностей у вхідних даних?

21. Яка задача називається коректно поставленою?

22. Яка задача теорії похибок називається прямою?




Лекція № 2

     ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ НА ЕОМ


2.1 Основні поняття та визначення

2.2 Класифікація методів розв’язання СЛАР на ЕОМ

2.3 Особливості методів Гаусса

2.3.1 Метод Гауса з послідовним виключенням невідомих

2.3.2 Метод Гауса за схемою Халецького

2.3.3 Метод Гауса з вибором головного елемента

2.3.4 Метод Гауса з одиничними коефіцієнтами

2.3.5 Метод Гауса-Жордана


  Джерела інформації


1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967

4. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

 

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Яку систему називають системою лінійних алгебраїчних рівнянь?

2. Що називається розв'язком СЛАР?

3. Яка система називається сумісною і несумісною?

4. Яка система називається визначеною і невизначеною?

5. Яка система називається виродженою і невиродженою?

6. Які системи називаються еквівалентними?

7. Яку СЛАР можна розв'язати на ЕОМ?

8. Які методи відносять до точних (дати означення і перелічити методи)?

9. Які методи відносять до наближених (дати означення і перелічити методи)?

10. В чому суть алгоритмів методу Гауса?

11. В чому суть прямого ходу в методах Гауса?

12. В чому суть зворотного ходу в методах Гауса?

13. Для чого в методі Гауса з послідовним виключенням елементів вводиться множник М і переставляють рівняння.

14. Чим відрізняються алгоритми методів Гауса з послідовним виключенням елементів і вибором головного елементу?

15. Чим відрізняються алгоритми методів Гауса з вибором головного елементу і з одиничною діагоналлю?

16. Чим відрізняються алгоритми методів Гауса з одиничною діагоналлю і Гауса-Жордана?

17. В чому суть методу Гауса за схемою Халецького?

18. Яку систему отримано в результаті прямого ходу методу Гауса-Жордана?


Лекція №3

     Наближені методи розв’язання СЛАР на ЕОМ


 

3.1 Постановка задачі та класифікація методів

3.2 Загальний підхід до розв’язання СЛАР наближеними методами

3.3 Умови збіжності ітераційного процессу

3.4 Метод послідовних наближень (метод Якобі)

3.5 Метод Гауса-Зейделя



3.6 Метод верхньої релаксації

Джерела інформації


1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967

4. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Дати визначення слідуючим термінам: розв’язання СЛАР, норма матриці, норма вектора, достатня умова сходження.

2. Дати порівняльну характеристику алгоритмів методу послідовного наближення та методу Гауса-Зейделя.

3. Суть алгоритму наближених методів розв’язання СЛАР.

4. Умова збіжності ітераційного процесу наближених методів.

5. Привести СЛАР:

9,9х1 -1,5х2+2,6х3=0;



0,4х1+13,6х2-4,2х3=8,2;

0,7х1+0,4х2+7,1х3=-13;

до нормального вигляду.

6. Записати достатню умову зближення ітераційного процесу.

7. Оцінка похибки метода послідовних наближень та метода Гауса-Зейделя.

8. Суть алгоритму метода послідовних наближень.


Лекція № 4

     ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗ’ВЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ


4.1 Загальні поняття та визначення

4.2 Принципи розв’язання нелінійних рівнянь на ЕОМ

Відокремлення коренів

4.3 Чисельні методи уточнення коренів



4.3.1 Метод половинного ділення

4.3.2 Метод хорд

4.3.3 Метод Ньютона (метод дотичних)

Правила визначення рухомого кінця для метода Ньютона 

 4.3.4 Комбінований метод

 4.3.5 Метод ітерацій (метод послідовних наближень)

 4.4 Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь


  Джерела інформації


1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967

4. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

6. Краскевич В. Є., Зеленський К. Х., Гречко В. И. Численные методы в инженерных исследованиях. – К.: Высшая шк.., 1986. – 263 с.

7. Рисс Ф., Секефальви – Надь Б. Лекции по функциональному анализу – М.: Мир, 1979.

8. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

9. В.И. Бердышев, Ю.Н. Субботин. Численные методы приближения функций. – Средне-Уральское книжное книжное издательство, 1979.

10. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. – М.: Мир, 1975. – 558 с.


     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Які рівняння відносяться до нелінійних?

2. Які рівняння відносяться до трансцендентних?

3. Що є розв‘язком нелінійного рівняння?

4. Відокремити корені рівняння  ,

5. Класифікація рівнянь, трансцендентні та алгебраїчні рівняння.

6. Які рівняння відносяться до трансцендентних рівнянь?

7. Які рівняння відносяться до алгебраїчних рівнянь?

8. Суть відокремлення коренів нелінійних рівнянь.

9. Суть методів уточнення коренів.

10. Які способи використовуються для відокремлення коренів?

11. В чому суть аналітичного методу відокремлення коренів?

12. Які теореми використовуються для аналітичного методу відокремлення коренів?

13. В чому суть алгоритму методу половинного ділення? Дайте геометричну інтерпретацію цього методу.

14. Графічна інтерпретація методу половинного ділення та основні формули методу.

15. В чому суть алгоритму методу хорд? Дайте геометричну інтерпретацію цього методу.

16. Графічна інтерпретація методу хорд та основні формули методу.

17. В чому суть алгоритму методу січних? Дайте геометричну інтерпретацію цього методу.

18. Графічна інтерпретація методу січних та основні формули методу.

19. В чому суть алгоритму комбінованого методу? Дайте геометричну інтерпретацію цього методу.

20. Графічна інтерпретація комбінованого методу та основні формули.

21. В чому суть алгоритму автоматизації пошуку рухомого кінця хорди?

22. В чому суть алгоритму автоматизації пошуку рухомого кінця січної?

23. Покажіть особливості методу ітерацій та його обмеження.

24. Графічна інтерпретація методу ітерацій та основні формули методу.

25. Розробить підпрограму - функцію для уточнення коренів нелінійного рівняння методом ітерацій.

Лекція № 5

     ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТАБЛИЧНИХ ФУНКЦІЙ


   5.1 Способи завдання функцій

   5.2 Математична постановка задачі інтерполювання

   5.2.1 Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

   5.2.2 Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції


  Джерела інформації


1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967

4. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

6. Краскевич В. Є., Зеленський К. Х., Гречко В. И. Численные методы в инженерных исследованиях. – К.: Высшая шк.., 1986. – 263 с.

7. Рисс Ф., Секефальви – Надь Б. Лекции по функциональному анализу – М.: Мир, 1979.

8. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

9. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: МГУ, 1976.

10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории апроксимации. – М.: Наука, 1965.

11. В.И. Бердышев, Ю.Н. Субботин. Численные методы приближения функций. – Средне-Уральское книжное книжное издательство, 1979.

12. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1976. – 327 с.

13. Альберг Дж., Нильсон Е., Уолт Дж. Теория сплайнов и ее дополнение. – М.: Мир, 1972.

14. Стечкин С. Б., Суботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976.

15. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. – М.: Мир, 1985. – 263 с.

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Загальна постановка задачі інтерполяції.

2. Що називається інтерполяційним багаточленом, вузлами інтерполяції?

3. Для функції y = f(x), яка визначена на інтервалі (0, ) і задана в вигляді таблиці значень yk = f(xk):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

k


7.

8.

9.

10.

11.

k


12.

13.

14.

4


15.

6


скласти тригонометричний інтерполяційний багаточлен.

Відповідь:

4. Для функції y = f(x), яка визначена на інтервалі (0, 1) і задана у вигляді таблиці значень yk = f(xk):

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

k


24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

k


31.

32.

33.

34.

35.

36.

скласти тригонометричний багаточлен не нижче другого порядку.

Відповідь:

5. Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для функції, яка задана таблицею

37.

38.

2


39.

1


40

41.

42.

43.

12


44.

8


45.

46.

Відповідь:

6. Побудувати багаточлен Ньютона для функції, заданої таблицею:



47.

48.

3


49

50.

51.

52.

53.

54.

1

5



55.

7


56.

57.

5


58.

7


7. Зробити постановку задачі на інтерполяцію функції, яка задана таблицею з не рівновіддаленими вузлами інтерполяції.

8. Зробити постановку задачі на інтерполяцію функції, яка задана таблицею з рівновіддаленими вузлами інтерполяції.


Лекція №6

     Апроксимація табличних функцій


6.1 Апроксимація табличних функцій

6.1.1 Апроксимація табличних функцій степеневими поліномами

6.1.2 Апроксимація узагальненими поліномами

6.1.3 Апроксимація ортогональними поліномами

6.1.4 Апроксимація тригонометричними поліномами (гармонійний аналіз)

Джерела інформації


1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967

4. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

6. Краскевич В. Є., Зеленський К. Х., Гречко В. И. Численные методы в инженерных исследованиях. – К.: Высшая шк.., 1986. – 263 с.

7. Рисс Ф., Секефальви – Надь Б. Лекции по функциональному анализу – М.: Мир, 1979.

8. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

9. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: МГУ, 1976.

10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории апроксимации. – М.: Наука, 1965.

11. В.И. Бердышев, Ю.Н. Субботин. Численные методы приближения функций. – Средне-Уральское книжное книжное издательство, 1979.

12. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1976. – 327 с.

13. Альберг Дж., Нильсон Е., Уолт Дж. Теория сплайнов и ее дополнение. – М.: Мир, 1972.

14. Стечкин С. Б., Суботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976.

15. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. – М.: Мир, 1985. – 263 с.

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Загальна постановка задачі апроксимації.

2. Основні умови теореми Діріхлє.

3. Зробити постановку задачі на тригонометричну апроксимацію.

4. Суть методу найменших квадратів (МНК).

5. Вкажіть формули чисельного обчислення коефіцієнтів Фур’є.

6. Скласти алгоритм тригонометричної апроксимації.

7. Скласти схему алгоритму апроксимації степеневими поліномами.

8. Скласти схему алгоритму апроксимації ортогональними поліномами.

9. Розкласти в ряд Фур'є функцію f(x) = x sin( x) .

Відповідь:

10. Загальна постановка задачі на інтерполяцію і апроксимацію

11. Що таке екстраполяція функції? Зробіть загальну постановку задачі.

12. Розкласти в ряд Фур'є функцію



Відповідь:


Лекція № 7

     Чисельні методи знаходження інтегралу за допомогою квадратурних методів обчислення


7.1 Основні поняття та визначення

7.2 Чисельні методи знаходження визначеного інтегралу

7.2.1 Метод прямокутників

7.2.2 Метод трапецій

7.2.3 Метод Сімпсона

Джерела інформації


1.     Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2.     Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3.     Форсайт Дж., Малькольм., Моулер Р. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980.

4.    Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

5.     Крылов В. И., Шульга А. Т. Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука, 1966.

6.     Хемминг Р. В. Численные методы. – М.: Наука, 1972. – 399 с.

7     Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

8.     Крилов В. И. и др. Начала теории вычислительных методов. Интегральное уравнение, некорректные задачи и улучшение сходимости. – Минск: Наука и техника, 1984. –   263 с.

9.     Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. На чому базується загальний підхід до чисельного інтегрування?

2. Особливість алгоритму методу прямокутників.

3. Особливість алгоритму методу трапецій. Як оцінити похибку отриманих результатів?

4. Алгоритм методу Сімпсона. Як оцінити похибку отриманих результатів?

5. В чому особливість квадратурних методів обчислення визначеного інтегралу на ЕОМ?

6. В яких випадках використовуються поліноміальні методи обчислення визначеного інтегралу на ЕОМ?


Лекція № 8

     Чисельні методи знаходження інтегралу за допомогою алебраїчних функцій


 

8.1 Метод Ньютона-Котеса

8.2 Метод Чебишева

8.3 Метод Гаусса

8.4 Загальний підхід до визначення інтегралів на ЕОМ

Джерела інформації


1.     Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2.     Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3.     Форсайт Дж., Малькольм., Моулер Р. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980.

4.     Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

5.     Крылов В. И., Шульга А. Т. Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука, 1966.

6.     Хемминг Р. В. Численные методы. – М.: Наука, 1972. – 399 с.

7     Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

8.     Крилов В. И. и др. Начала теории вычислительных методов. Интегральное уравнение, некорректные задачи и улучшение сходимости. – Минск: Наука и техника, 1984. –   263 с.

9.     Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.

     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Особливість алгоритму методу Чебишова. В яких випадках рекомендують застосовувати цей метод?

2. Особливість алгоритму методу Гаусса.

3. Особливість алгоритму методу Ньютона – Котеса. В яких випадках слід застосовувати цей метод?

4. Як можна поставити експеримент на дослідження інтеграла, в основі якого лежить дуже осцилююча функція типу ?

5. Обчислити інтеграл , приміняючи квадратурну формулу Гаусса з чотирма ординатами.

6. За допомогою формули Чебишева обчислити , де .


Лекція № 9

     ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ НА ЕОМ


9.1. Основні визначення та поняття

9.2. Класифікація чисельних методів розв'язання задачі Коші

9.3 Одноточкові методи розв'язання задачі Коші на ЕОМ

9.1.1 Модифікації методу Ейлера

9.1.2 Метод Рунге–Кутта

9.4 Методи прогнозу і корекції (багатоточкові методи)

9.2.1 Метод Мілна

9.2.2 Метод Адамса – Башфорта

9.2.3 Метод Хемінга

Джерела інформації


1.  Фельдман Л.П., Петренко А.І. Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці: Підручник/ За ред. М.З. Згуровського. – К.: Вид. група BHV, 2006. – 480 с.

2.  Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

3.  Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

4.  Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

5.  Численные методы / Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша и др. – М.: Высшая шк., 1976. – 368 с.

6.  Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Т. Численные методы решения жестких систем. – М.: Наука, 1979. – 587 c.

7.  Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

8.  Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

9.  Иванов В. В. Методы вычислений на ЕОМ. – Киев: Наук. думка, 1986. – 584 с.

10. Маліков В.Т., Кветний Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. – К.: Высшая школа., 1989. – 213 с.

11.  Квєтний Р.Н. Методи комп’ютерних обчислень: Навчальний посібник. /МО І науки України. – Вінниця: ВДТУ, 2001. – 148 с.

12.  Ортега Дж., Пуп У. Введение в численные методе решения диференциальных уравнений. – М.:Наука,1986. – 288 с.

13.  Молчанов И. М. Машинные методы решения прикладных задач, диф. уравнений. – Киев: Наук. Думка, 1988. – 344 с.

14.  Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.


     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Яке рівняння називається диференціальним?

2. Яке рівняння відноситься до звичайного?

3. Яке рівняння відноситься до рівняння з частковими похідними?

4. Що таке задача Коші?

5. Яка задача відноситься до краєвої?

6. Що таке початкові умови?

7. Що таке краєві умови?

8. Які методи відносяться до одноточкових?

9. Які методи відносяться до багатоточкових?

10. Які методи відносяться до методів прогнозу і корекції?

11. Особливість математичної моделі методу Ейлера.

12. Геометрична інтерпретація методу Ейлера.

13. Алгоритм методу Ейлера.

14. Математична модель модифікованого методу Ейлера.

15. Геометрична інтерпретація модифікованого методу Ейлера.

16. Алгоритм модифікованого методу Ейлера.

17. Математичні моделі удосконаленого методу Ейлера.

18. Геометрична інтерпретація удосконаленого методу Ейлера та методу Ейлера.

19. Алгоритм удосконаленого методу Ейлера.

20. Математична модель методу Рунге-Кутта.

21. Геометрична інтерпретація методу Рунге-Кутта.

22. Алгоритм методу Рунге-Кутта.

23. Особливості чисельних методів розв’язання СИДР з автоматичною зміною кроку.

24. Узагальнений алгоритм багатоточкових методів.


Лекція № 10

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ


 

10.1 Чисельні методи розв’язання крайових задач

10.1.1 Методи стрільби

10.1.2 Кінцево-різницеві методи

10.1.3 Метод прогонки

Джерела інформації


1.  Фельдман Л.П., Петренко А.І. Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці: Підручник/ За ред. М.З. Згуровського. – К.: Вид. група BHV, 2006. – 480 с.

2.  Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

3.  Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

4.  Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

5.  Численные методы / Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша и др. – М.: Высшая шк., 1976. – 368 с.

6.  Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Т. Численные методы решения жестких систем. – М.: Наука, 1979. – 587 c.

7.  Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

8.  Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

9.  Иванов В. В. Методы вычислений на ЕОМ. – Киев: Наук. думка, 1986. – 584 с.

10. Маліков В.Т., Кветний Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. – К.: Высшая школа., 1989. – 213 с.

11.  Квєтний Р.Н. Методи комп’ютерних обчислень: Навчальний посібник. /МО І науки України. – Вінниця: ВДТУ, 2001. – 148 с.

12.  Ортега Дж., Пуп У. Введение в численные методе решения диференциальных уравнений. – М.:Наука,1986. – 288 с.

13.  Молчанов И. М. Машинные методы решения прикладных задач, диф. уравнений. – Киев: Наук. Думка, 1988. – 344 с.

14.  Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.

 

 

      Питання та задачі до самостійної роботи


1. Особливості розв’язування систем диференціальних рівнянь на ЕОМ.

2. Загальний підхід до розв’язання краєвої задачі.

3. В чому суть методу прогонки?

4. Дати визначення таким поняттям: краєва задача, межові умови, задача Коші, тридіагональна матриця. Навести приклад.

5. Суть алгоритму розв’язання крайової задачі скінченнорізницевими методами.

6. Особливості методу прогонки.

7. Суть прямого ходу методу прогонки.

8. Суть зворотного ходу методу прогонки.

9. Розв’язати ЗДР з межовими умовами: ; та кроком .

Лекція № 11

     ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ (ЧАСТИНА 1)


11.1 Різницеві методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних

11.2 Етапи чисельного розв'язування диференційних рівнянь (ДР) у частинних похідних на ЕОМ

11.3 Еліптичні рівняння

11.4 Гіперболічні рівняння


Джерела інформації


1.     Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

2.     Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

3.     Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

4.     Крылов В. И. и др. Численные методы . – М.: Наука, 1978. –  1979. – Т. 2. – 400 с.

5.     Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

6.      Митчел Е., Уейк Р. Метод конечных елементов для уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1981. – 216 с.

7.      Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. – М.: Мир, 1985. – 263 с.

8.      Ортега Дж., Пуп У. Введение в численные методе решения диференциальных уравнений. – М.:Наука,1986. – 288 с.

9.      Молчанов И. М. Машинные методы решения прикладных задач, диф. уравнений. – Киев: Наук. Думка, 1988. – 344 с.

10.      Крилов В. И. и др. Начала теории вычислительных методов. Уравнения в часных производных. – Минск: Наука и техника, 1986. – 310 с.

11.      Крилов В. И. и др. Начала теории вычислительных методов. Интегральное уравнение, некорректные задачи и улучшение сходимости. – Минск: Наука и техника, 1984. – 263 с.

12.      Крилов В. И. Математический анализ. Ускорение сходимости. – Минск: Наука и техника, 1988. – 176 с.

13.      Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.

     Запитання для самостійної роботи


1.      Які рівняння відносять до рівнянь у частинних похідних?

2. Що таке дискримінант?

3. Класифікація рівнянь у частинних похідних.

4. Особливості трактування задачі розв'язання рівнянь в частинних похідних на ЕОМ.

5. Що таке дискримінант рівняння?

6. Що таке змішана задача?

7. Особливості різницевих методів. Навести наближені формули для похідних , (за 2, 3, 5, 9 точками).

8. Різницева схема для розв'язування еліптичного рівняння на ЕОМ.

9. Алгоритми розв'язання еліптичного рівняння на ЕОМ.

10. Особливість методу Лібмана.

11. Особливість прискореного методу Лібмана

12. Різницева схема для розв'язування гіперболічного рівняння на ЕОМ

13. Різницева схема для розв'язування еліптичного рівняння на ЕОМ.

14. Різницева схема для розв'язування параболічного рівняння на ЕОМ

15. Особливість алгоритму розв'язання гіперболічного рівняння на ЕОМ.

16. Явні та неявні методи роз’язання гіперболічного рівняння на ЕОМ.

17. Явні та неявні методи роз’язання еліптичного рівняння на ЕОМ.

Лекція № 12

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ (ЧАСТИНА 2)


 

     12.1 Параболічні рівняння


  Джерела інформації


1.     Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

2.     Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

3.     Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

4.     Крылов В. И. и др. Численные методы . – М.: Наука, 1978. –  1979. – Т. 2. – 400 с.

5.     Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

6.      Митчел Е., Уейк Р. Метод конечных елементов для уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1981. – 216 с.

7.      Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. – М.: Мир, 1985. – 263 с.

8.      Ортега Дж., Пуп У. Введение в численные методе решения диференциальных уравнений. – М.:Наука,1986. – 288 с.

9.      Молчанов И. М. Машинные методы решения прикладных задач, диф. уравнений. – Киев: Наук. Думка, 1988. – 344 с.

10.      Крилов В. И. и др. Начала теории вычислительных методов. Уравнения в часных производных. – Минск: Наука и техника, 1986. – 310 с.

11.      Крилов В. И. и др. Начала теории вычислительных методов. Интегральное уравнение, некорректные задачи и улучшение сходимости. – Минск: Наука и техника, 1984. – 263 с.

12.      Крилов В. И. Математический анализ. Ускорение сходимости. – Минск: Наука и техника, 1988. – 176 с.

13.      Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.

     Запитання для самостійної роботи


1. Різницеві схеми для розв'язування параболічного рівняння на ЕОМ.

2. Особливість алгоритму розв'язання параболічного рівняння на ЕОМ.

3. Що таке збижність методу?

4. Від чого залежить збижність методів розв'язання еліптичного, гіперболічного та параболічного рівнянь?


Лекція № 13

     МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ОДНОВИМІРНИХ ЗАДАЧ


13.1 Метод загального пошуку

13.2 Метод половинного ділення (розділення відрізка навпіл)

13.3 Метод дихотомії

13.4 Метод “золотого перетину”

13.5 Метод Фібоначчі

13.6 Порівняння методів одновимірного пошуку

Джерела інформації


1.     Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2.     Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

3.     Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

3.     Крылов В. И. и др. Численные методы . – М.: Наука, 1978. –  1979. – Т. 2. – 400 с.

4.     Форсайт Дж., Малькольм., Моулер Р. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 279c.

5.     Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

6.     Гил Ф., Мюрей У. Численные методы условной оптимизации. – М.: Мир, 1977. – 290 с.

7.      Василев Ф. П. Лекции по методам решения експериментальных задач. – М.: Изд – во Моск. Ун – то, 1984. – 374 с.

8.      Полак Е. Численные методы оптимизации. – М. : Мир, 1974.

9.      Пшеничний Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в екстремальных задачах. – М. : Наука, 1975.

10.      Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств / Под ред. З. М. Бенесона. – М. : Радио и связь, 1981. – 272 с.

11.      И.В. Кузьмин, М.М. Биков, С.М. Москвина, А.И. Кузьмин. Методы оптимизации сложных систем. – Винница: ВДТУ, 2003. – 165с.


     Питання та задачі до самостійної роботи


1. В чому полягає властивість унімодальності функцій і в чому полягає важність цієї властивості при розв’язку задач оптимізації з однією змінною?

2. Якщо точка цільової функції задовольняє достатнім умовам існування локального мінімума, то як встановити чи є цей мінімум глобальним?

3. Чи є методи виключення інтервалів в цілому більш ефективними, ніж методи точкового оцінювання? Чому?

4. При реалізації пошукових алгоритмів на ЕОМ в якості умови закінчення ітераційного процесу використовуються як аналіз абсолютної величини різниці поточних значень кінців відрізка дослідження, так і абсолютної величини різниці поточних значень цільової функції. Чи можлива ситуація, коли результат однієї з перевірок вказує на збіжність до точки мінімума, тоді як отримана точка в дійсності мінімуму не відповідає. Поясніть відповідь рисунком.

5. Задані наступні функції однієї змінної:

а) ;

б) .

Для кожної з заданих функцій знайдіть:

  інтервал(и) зростання, спадання;

  точки перегину (якщо такі існують);

  інтервал(и), в якому функція вогнута, випукла;

  локальний і глобальний максимуми (якщо такі існують);

  локальний і глобальний мінімуми (якщо такі існують).

6. Встановіть області, в яких наступна функція випукла чи вогнута: . Знайдіть глобальний максимум і глобальний мінімум цієї функції.

7. В чому суть алгоритму методу дихотомії? Складіть схему алгоритма цього методу. Виберіть і обґрунтуйте умову виходу з ітераційного циклу.

8. Дослідіть функцію в інтервалі -44. Знайдіть локальні мінімуми, локальні максимуми, глобальний мінімум і глобальний максимум f в заданому інтервалі.

9. В чому сутність алгоритму методу Фібоначчі? Складіть схему алгоритма методу, наведіть основну математичну модель методу.

10. Розробіть програму для ЕОМ, яка реалізує пошук оптимуму за методом золотого перетину і методом Фібоначчі для функції в інтервалі . Порівняйте результуючі інтервали пошуку, які отримані за допомогою перерахованих методів.

Лекція № 14

     МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ БАГАТОВИМІРНИХ ЗАДАЧ


 

14.1 Основні поняття та визначення

14.2 Критерії оптимальності

14.3 Градієнтні методи

14.3.1 Найшвидший підйом з використанням одномірного пошуку

14.3.2 Метод найшвидшого спуску

14.3.3 Метод Флетчера – Рівса

14.3.4 Метод Девідона – Флетчера – Пауела

14.3.5 Метод конфігурацій Хука – Дживса

14.3.6 Метод конфігурацій Розенброка


  Джерела інформації


1.     Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2.     Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

3.     Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

3.     Крылов В. И. и др. Численные методы . – М.: Наука, 1978. –  1979. – Т. 2. – 400 с.

4.     Форсайт Дж., Малькольм., Моулер Р. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 279c.

5.     Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

6.     Гил Ф., Мюрей У. Численные методы условной оптимизации. – М.: Мир, 1977. – 290 с.

7.      Василев Ф. П. Лекции по методам решения експериментальных задач. – М.: Изд – во Моск. Ун – то, 1984. – 374 с.

8.      Полак Е. Численные методы оптимизации. – М. : Мир, 1974.

9.      Пшеничний Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в екстремальных задачах. – М. : Наука, 1975.

10.      Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств / Под ред. З. М. Бенесона. – М. : Радио и связь, 1981. – 272 с.

11.      И.В. Кузьмин, М.М. Биков, С.М. Москвина, А.И. Кузьмин. Методы оптимизации сложных систем. – Винница: ВДТУ, 2003. – 165с.


     Питання та задачі до самостійної роботи


1. Що таке градієнт і антиградієнт? Поясніть математично.

2. В чому полягає сутність градієнтних методів пошуку оптимуму цільової функції.

3. Поясніть узагальнену математичну модель градієнтних методів пошуку оптимуму функції.

4. Покажіть, що функція є випуклою.

5. Знайдіть і класифікуйте стаціонарні точки функції .

6. Проведіть аналіз визначеності наступних квадратних форм:





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка