Конспект лекцій по дисципліні «диференціальні рівняння»



Скачати 226.85 Kb.
Дата конвертації01.01.2017
Розмір226.85 Kb.


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ



  • Конспект лекцій по дисципліні


«ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ»

  1. Запоріжжя ЗНУ 2015

Таблиця інтегралів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

Підведення під знак диференціала

Інтегрування по частинам


Основна тригонометрична підстановка
– заміна, , ,

, .



ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ОЗНАЧЕННЯ
Математичний опис різних процесів та явищ матеріального світу приводить в багатьох випадках до рівнянь, що містять шукану функцію під знаком похідної чи диференціала. Такі рівняння називають диференціальними.

Розглянемо приклад, що приводить до диференціального рівняння.



Приклад. З висоти без початкової швидкості кинуто тіло. Знайти закон його руху, якщо на нього окрім сили тяжіння діє сила опору середовища, що пропорційна швидкості.

Введемо позначення: – закон руху тіла.

За другим законом Ньютона маємо:



; ,

де – коефіцієнт пропорційності опору середовища.

Маємо диференційне рівняння. Його розв’язком є функція:

,

де , – константи.

Переконаємося у цьому. Підставимо цей вираз до рівняння:

.

Для відшукання сталих та залучимо додаткові умови, згідно з умовами задачі:



, .

Задовольняючи цим умовам отримаємо:



.

Підставляючи знайдені вирази та до формули отримуємо відповідь задачі:



Введемо декілька означень.



Означення 1. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну х, шукану функцію у(х) та її похідні Символічно диференційне рівняння записується у вигляді:

.

, ,…, .

Означення 2. Якщо невідома функція, яка входить до диференціального рівняння, є функцією двох і більше незалежних змінних, то маємо диференційне рівняння з частинними похідними.



Означення 3. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в рівняння.

Означення 4. Загальним розвязком диференціального рівняння називають вираз вигляду

,

( – константи, кількість яких залежить від порядку диференціального рівняння), після підстановки якого в диференціальне рівняння воно обертається на тотожність.

Якщо константам надати якісь певні значення, то отримаємо частинний розвязок.

Означення 5. Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

РІВНЯННЯ ІЗ ПОДІЛЕНИМИ І ПОДІЛЬНИМИ ЗМІННИМИ
Розглянемо диференційне рівняння виду:

(1)

Перетворимо його до виду:



(2)

(2) можна розглядати, як рівність двох диференціалів. Тоді невизначені інтеграли від них будуть відрізнятись постійним доданком :



Ми отримали співвідношення, яке зв’язує шукану функцію , незалежну змінну та довільну константу , тобто отримали загальний інтеграл (загальний розвязок) рівняння (2).

Диференційне рівняння типу (2), тобто рівняння:

(3)


називається рівнянням із поділеними змінними.

Його загальний розв’язок має вигляд:



Рівняння виду:



(4)

називається рівнянням із подільними змінними, оскільки шляхом ділення на  воно приводиться до рівняння із поділеними змінними:



.

Зауважимо, що при діленні можлива втрата частинних розв’язків, які перетворюють на нуль добуток . Якщож функції або можуть бути розривними, то можлива поява зайвих розв’язків, що перетворюють на нуль множник .


Приклади. Знайти розв’язки диференціальних рівнянь:

1) .








2) , .

Задана задача Коші, оскільки окрім диференціального рівняння маємо ще й початкову умову.



.

Таким чином, маємо загальний розв’язок . Для відшукання константи скористаємося додатковою умовою :



.

Підставивши знайдене в загальний розв’язок, будемо мати частинний розв’язок 



РІВНЯННЯ, ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО РІВНЯНЬ

ІЗ ПОДІЛЕНИМИ ЗМІННИМИ
Рівняння виду

 (1)

Покладемо

(2)

Тоді


(3)

Підставляючи (3) та (2) в (1) приходимо до рівняння:



чи .

Це рівняння із подільними змінними.




Приклад.



.



.
До рівнянь із подільними змінними приводяться також однорідні диференційні рівняння, які мають вигляд:

.

Зробимо підстановку . Тоді рівняння приймає вигляд:



.
Приклад.

– однорідне рівняння. .







.
Рівняння виду:

приводяться до однорідних рівнянь за допомогою заміни



,

де і – константи.

Оскільки , , то рівняння приймає вигляд

,



і підберемо таким чином, щоб вирази у дужках в чисельнику і знаменнику оберталися на нуль. Таким чином, для відшукання  та маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Тоді останнє диференціальне рівняння приймає вигляд



– маємо однорідне рівняння.
Приклад.

Покладемо .



; .

Тоді


; .







.



Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, що містить і в першій степені. Воно має вигляд:

(1)

Якщо , то рівняння називається однорідним. Його розв’язок матиме наступний вигляд:




 (2)

Для відшукання розв’язку неоднорідного рівняння використовується два методи:



  1. а) Метод варіації довільних сталих


За цим методом розв’язок рівняння (1) шукають у вигляді (2), припускаючи, що є не константою, а деякою функцією від , тобто

(3)

Підставляючи (3) у (1), приходимо до рівняння для відшукання функції :



,

,

,  (4)

де – константа інтегрування.

Підставляючи (4) у (3) отримуємо розв’язок неоднорідного рівняння:

Більш простим методом розв’язання лінійних рівнянь є метод підстановки.



  1. б) Метод підстановки


За цим методом розв’язок рівняння (1) шукаємо у вигляді добутку двох функцій:

 (5)


Підставляючи (5) у (1) отримуємо:



(6)

Оберемо таким чином, щоб вираз у дужках обернувся на нуль, тобто знайдемо як розв’язок диференціального рівняння . Це рівняння з подільними змінними. Відшукавши будь-який частиннй розвязок цього рівняння (максимально простого вигляду) і підставляючи цей розв’язок у (6), приходимо до рівняння для відшукання функції : з подільними змінними.


Приклад.

Приймемо . Отримаємо



;



 – частинний розв’язок (поклали ). Тоді

; .
До лінійних диференціальних рівнянь можуть бути зведені деякі інші рівняння. Розглянемо їх.

  1. а) Рівняння Бернуллі.


Воно має вигляд:

де , інакше маємо лінійне і рівняння з подільними змінними .

Покладемо .

Тоді .

Підставляючи у дане рівняння останній вираз отримаємо

.

Оскільки , то



.
Прийшли до лінійного рівняння.

Зауважимо, що розв’язок рівняння Бернуллі можна відшукувати у вигляді аналогічно тому, як це робили для лінійних рівнянь.



Приклад. Знайти розв’язок рівняння:

.

Зробимо підстановку .



, .

Тоді


. .

  1. б) Рівняння Рікатті


Воно має вигляд:

В загальному вигляді це рівняння не інтегрується, але може бути зведено заміною змінних до рівняння Бернуллі, якщо відомий деякий частинний розв’язок  цього рівняння.

Поклавши  і підставляючи у початкове рівняння отримаємо:

Оскільки розв’язок, то (підкреслені члени взаємно знищуються) і для відшукання отримаємо рівняння



.

Це рівняння Бернуллі.


Приклад. Знайти розв’язок диференціального рівняння



Це рівняння Ріккаті. Потрібний деякий частинний розв’язок. Частинним розв’язком може бути функція (підбором). Згідно вищевикладеному, розв’язок будемо шукати у вигляді . Підставимо в рівняння:

.

Отримали рівняння Бернуллі. Зробимо підстановку .



,

Тоді


.

,





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка