Конспект лекцій для студентів спеціальності 182 «Технології легкої промисловості» денної та заочної форм навчання Луцьк



Сторінка7/8
Дата конвертації05.03.2017
Розмір1.19 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

Лекція № 5. Розв’язок задач нецілочисельної оптимізації


Задача нецілочисельної оптимізації полягає в тому, щоб підібрати такі значення аргументів цільової функції, при яких дана функція приймає екстремальне (мінімальне або максимальне) значення і дотримується задана система обмежень на значення аргументів. У математичній формі задача може бути сформульована таким чином:

де f – цільова функція; n – кількість аргументів цільової функції; gi, hi – елементи системи обмежень (рівності або нерівностей різного вигляду); k – кількість обмежень.

Приклад задачі оптимізації. Припустимо, що якомусь студенту необхідно здати два заліки в один день. Він поставив собі задачу здати їх якнайкраще, причому так, щоб оцінка за кожний залік була не менше 2,5 балів. У нього залишилося 24 години. Студент припустив, що, витративши одну годину на перший предмет, він підвищить можливу оцінку на 0,5 бали, витративши ту ж годину на другий предмет, – підвищить оцінку по ньому на 0,25 бали. Необхідно визначити, скільки годин (x) йому треба витратити на перший предмет і скільки (у) на другий предмет, щоб виконати поставлену задачу. Математично задача запишеться так:

(сума оцінок по предметах),

і повинні виконуватися такі обмеження:



У системі MathCAD такі задачі розв’язуються за допомогою блоків Given–Maximize і Given–Minimize. Так само, як і при рішенні систем рівнянь, вирішуючий блок складається з декількох компонент, що розміщені на листі (рис. 14) в строго певному порядку:

1. Присвоєння початкових значень змінним, щодо яких розв’язується задача оптимізації.

2. Визначення цільової функції.

3. Директива Given.

4. Обмеження, записувані у звичайній математичній формі. Можуть використовуватися всі вказані вище знаки відношень, але замість простого знака рівності «=« використовується оператор логічної рівності (вводиться шляхом натиснення Ctrl=). Зауваження: система MathCAD при мінімізації і максимізації сприймає знаки строгої нерівності (< >) як знаки нестрогої нерівності .

5. Звернення до однієї з функцій Minimize або Maximize для відповідно мінімізації або максимізації. Першим аргументом завжди є ім’я цільової функції. Далі йдуть імена змінних, щодо яких розв’язується задача. Функція повертає вектор значень, де перший елемент відповідає першій змінній у списку аргументів, другий елемент – другій змінної і так далі.

Рис. 14. Розв’язок задачі про студента в системі MathCAD

Тут система MathCAD визначила, що розв’язком задачі є значення: x = 10 годин, у = 14 годин.

Лекція № 6. Чисельне розв’язування диференціальних рівнянь


Розглянемо стандартні засоби чисельного розв’язування диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь.

а) б)


Рис. 15. Приклади рівнянь, явно заданого (а) і неявно заданого (б) щодо найвищої похідної

Чисельне розв’язування одного диференціального рівняння. MathCAD 2000 дозволяє без додаткових перетворень чисельно вирішити диференціальне рівняння, явно задане щодо найвищої похідної (рис. 15).

Розв’язок здійснюється за допомогою спеціального блоку Given–Odesolve, що складається з таких компонент:

1. Директива Given.

2. Диференціальне рівняння, записане в традиційній математичній формі з наступними особливостями: а) замість простого знака рівності «=« використовується оператор логічної рівності; б) при позначенні функції, що інтегрується, завжди вказується аргумент (тобто замість функції x(t) не можна писати просто x); в) при записі похідних використовуються або стандартні оператори і , або ставляться (за допомогою Ctrl+F7) символи похідної, наприклад x’(t), x’’(t).

3. Вказування початкових або кінцевих значень функції, що інтегрується, і її похідних (за винятком найвищої), що входять у рівняння. Значення вводяться у традиційній формі з використанням оператора логічної рівності. Число значень повинне співпадати з порядком рівняння. Для рівняння другого порядку виду повинні бути задані початкові значення функції і її першої похідної, наприклад x(0) = 1; x’(0) = 0,5.

4. Звернення до функції Odesolve. Перший аргумент – завжди ім’я незалежної змінної. Другий аргумент – кінцеве значення незалежної змінної. Третій (необов’язковий) аргумент – кількість проміжних точок розв’язок. Odesolve повертає функцію, що представляє наближений (чисельний) розв’язок диференціального рівняння на заданому інтервалі часу. Дана функція може бути використана для визначення значень функції, що інтегрується, в різних точках, а також для побудови графіка.

Приклад. Розв’яжемо вищевказане диференціальне рівняння при значеннях t = 0..5; знайдемо значення x при t = 2; 4, і побудуємо графік розв’язку.













Чисельний розв’язок систем диференціальних рівнянь з використанням Odesolve можливий тільки починаючи з версією MathCAD 11. В старіших версіях можна скористатися спеціальними функціями (rkadapt, rkfixed, bulstoer).



1   2   3   4   5   6   7   8


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка