Конспект лекцій для студентів спеціальності 182 «Технології легкої промисловості» денної та заочної форм навчання Луцьк



Сторінка3/8
Дата конвертації05.03.2017
Розмір1.19 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

2.6. Засоби складання математичних моделей


Існують три засобу складання математичного опису:

1) Емпіричний (експериментально статистичний, засіб «чорного ящика»).

2) Експериментально-аналітичний (феноменологічний).

3) Теоретичний (структурний).


2.6.1. Емпіричний засіб складання математичної моделі

Емпіричний засіб в основному використовується тоді, коли процес маловивчений або нічого невідомо про його природу. Цей засіб також дозволяє отримати математичний опис діючого об’єкту без дослідження його внутрішньої структури.

Зовнішні зв’язки будь-якої системи можна представити у вигляді схеми (рис. 2.2).


Рис.2.2. Зовнішні зв’язки системи: – вектор вхідних параметрів,
– вектор вихідних параметрів.
Вхідні параметри поділяються на три групи Х – контрольовані, але не регулюємі параметри; U – контрольовані і регулюємі параметри (керуючі параметри); Z – неконтрольовані та нерегулюємі параметри (збурення).

Модель «чорного ящика» – модель об’єкта, створена без внутрішніх властивостей об’єкта, без врахування фізичної сутності процесів, що протікають у ньому. Така модель відображає залежність значень вихідних параметрів від вхідних.

Математичний опис у загальному вигляді становить систему рівнянь виду:

В принципі ця система рівняннь визначає залежність i-го виходу від всіх вхідних дій. Але встановити вид функцій F принципово неможливо – адже збурення Z нам невідомі. Проте, у більшості випадків, кожне з рівнянь можна представити у вигляді



Тут функція розкладена на дві складові: залежність F від контрольованих параметрів та похибка («шум») f. Тепер задача ставиться таким чином: встановити вид функції Fi та оцінити «шум» fi. У багатьох випадках величиною другого доданка можна знехтувати. Тоді під математичною моделлю можливо розуміти саме . Це рівняння, що встановлює зв’язок між вихідними та вхідними параметрами, називають рівнянням регресії. Найбільш часто цю функцію представляють алгебраїчним многочленом.

Звичайно, спершу розраховують більш прості многочлени, відхилення дослідних точок від розрахункових значень порівнюють з випадковою помилкою експерименту. Якщо обидві величини одного порядку, то опис вважають задовільним. Якщо відхилення не можна пояснити випадковою помилкою, то розраховують більш складний многочлен. Зі збільшенням порядку многочлена точність опису зростає, але одночасно, по-перше, збільшується необхідне число дослідів для знаходження коефіцієнтів многочлена, а, по-друге, ускладнюється модель.

Експериментальні дані для побудови рівняння регресії можна отримати трьома способами:

1. Пасивний експеримент.

2. Активний експеримент.

3. Визначення реакції об’єкту на стандартне збурення.



Пасивний експеримент – здійснюється збиранням та аналізом інформації про стан технологічних параметрів об’єкту без спеціальної зміни вхідних параметрів процесу.

Переваги даного засобу – практично повністю відсутні витрати на експеримент.

Недоліки:

1. У нормальних умовах експлуатації коливання технологічного режиму незначні і тому експериментальні точки близькі одна до одної. В цих умовах на точність опису можуть сильно вплинути випадкові похибки.

2. Необхідно мати достатньо велику кількість експериментальних даних.

Активний експеримент – полягає у цілеспрямованій зміні вхідних параметрів технологічного процесу. В основі цього засобу лежить планування експерименту.

Практично всі процеси є складними і на показники процесу виявляють вплив велике число факторів. Можливі два підходу до дослідження таких багатофакторних систем. Перший базується на тому, що дослідження об’єкту розбивається на серії, в кожній з яких досліджується зміна тільки одного параметра при фіксованих інших. Другий підхід базується на побудові плану експерименту, що передбачає зміну всіх факторів, що впливають. Такий план повинен забезпечити максимум точності та мінімум кореляції.

Такий експеримент називають багатофакторним.

Перевагами першого підходу є його наочність та простота інтерпретації отриманих результатів. Другий підхід значно ефективніший - при тому ж обсязі експериментальних досліджень та тій же точності дослідів отримується досить велика точність результатів.

Для вигляді прикладу розглянемо вплив температури (), та часу перебування (), на вихід продукту (). Математичну модель отримуємо у вигляді полінома 1-й степені лінійного рівняння регресії – . Для цього використовуємо плани 1-го порядку, що будуються наступним чином.

1. Обирається центр області, що досліджується (центр плану) і у нього переноситься початок координат.

2. Задаються мінімальні () та максимальні (max) значення вхідних параметрів та .. Складається план експерименту (рис. 2.3, а). При цьому кожний фактор приймає лише два значення - варіюється на двох рівнях (верхньому та нижньому).

Рис.2.3. План експерименту (а) та матриця планування (б)


3. Кодування змінних. При цьому координати центру плану прирівнюються до нуля, а інтервали варіювання приймають за одиницю. Кодування змінні значно полегшує обробку результатів дослідів, що в даному випадку проводиться у стандартній формі, не залежній від конкретних умов завдання.

Матриця планування для кодованих змінних має вигляд (рис. 2.3, б)

На практиці для скорочення запису часто замість «+1» та «–1» просто пишуть «+», «–» . план, що розглядається, побудований так, що кожний фактор варіюється на двох рівнях, причому у дослідах перебираються всі можливі комбінації двох рівнів факторів. Такий план називають планом повнофакторного експерименту на двох рівнях. Визначимо значення коефіцієнтів за наступними формулами:

;

Активний експеримент дозволяє за рахунок цілеспрямованої зміни вхідних параметрів отримувати необхідний обсяг інформації при істотно меншому числі дослідів, чим при пасивному експерименті .

При визначення реакції об’єкту на стандартні збурення на вхід подається стандартний сигнал - одиничний імпульс, східчаста або синусоїдальна зміна вхідного параметра (рис. 2.4). Дослідження об’єкту при стандартних збуреннях помітно полегшує обробку отриманої інформації. Цим способом в основному користуються при вивченні динаміки (перехідних характеристик) об’єкту, при визначенні гідродинамічних обставин та ін.

Рис. 2.4. Стандартні збурення ( – час): а – одиничний імпульс, б – східчаста зміна вхідного параметра, в – синусоїдальна зміна вхідного параметра
При використанні емпіричних засобів математичний опис складається наступним чином:

1. Проводяться експерименти засобом «чорного ящика», тобто. вивчається реакція об’єкту на різноманітні збурення.

2. Здійснюється статистична обробка результатів та пошук найкращої форми апроксимації одержаних даних.

3. Будується математичний опис.

Єдиним критерієм застосування одержаного математичного опису є найбільша простота порівняння при хорошій апроксимації експериментальних даних.

Переваги експериментальних засобів побудови математичних моделей:


  • простота опису;

  • доступність одержання моделей;

  • можливість побудови моделі за відсутності теорії процесу.

Недоліки експериментальних засобів:

  • неможливість застосування моделі для режимів, для яких не проводилися вимірювання;

  • неможливість застосування моделі при переході до інших установок; неможливість екстраполяції результатів.
Наприклад, Модель будувалася для значень інтервалу (аb) (рис. 2.5). Одержана квадратична залежність 2. Видно, що на інтервалі (аb) модель добре описує процес, що протікає в оригіналі, експериментальна залежність відображається кривою 1. При виході величини значення x за межі відрізку (аb) модель (крива 2) дає значні похибки.



Рис.2.5. Графічна ілюстрація неможливості екстраполяції:
1 – експериментальна залежність; 2 – модель
Емпіричні засоби корисні і застосовуються для вивчення складних систем, якщо їх структура не змінюється з часом, теорія процесу невідома і (або) якщо необхідно швидко одержати модель без дослідження процесу.

2.6.2. Експериментально - аналітичний засіб складання математичної моделі

При використанні цього експериментально-аналітичного засобу дослідник намагається визначити фізичну сутність явищ, що протікають в об’єкті. Використовується декомпозиція складного явища, тобто на основі аналізу визначаються більш прості, елементарні процеси, що можна досліджувати більш доступними способами. Після аналізу впливу елементарних процесів на процес вцілому, несуттєві фактори відкидаються, і вибирається той елементарний процес, що виявляє найбільш істотний вплив.


Після цього складається математичний опис, причому не у формі полінома, а у вигляді залежності, що характерна для даного елементарного процесу. Вплив інших елементарних процесів враховується зміною коефіцієнтів, що входять в цю залежність.

Для прикладу розглянемо побудову моделі що описує процесу переносу тепла в нерухомому зернистому шарі в аксіальному напрямку (рис. 2.6). Процес переносу тепла здійснюється за рахунок наступних процесів:

1 – конвекція;

2 – теплопровідність;

3 – випромінювання.

При температурах менше 800 К та малих лінійних швидкостях потоку газу перенос тепла, в основному, визначається теплопровідністю. Цей процес описується порівнянням Фур’є :





де – дійсне значення коефіцієнта теплопровідності.

Рис.2.6. Процес переносу тепла в нерухомому зернистому шарі в аксіальному напрямку
Однак користуватися рівнянням не можна, так як. в ньому не враховані 1 та 3 елементарні процесі переносу тепла. Для їх врахування замість дійсного значення вводиться деяке «ефективне» значення , що визначається експериментально, тоді рівняння, що описує процес, приймає вигляд:

Дане рівняння є експериментально-аналітичною моделлю процесу переносу тепла в нерухомому зернистому шарі. Цілком очевидно, що не є фізичною константою, а залежить від умов експериментів, при яких вона була одержана та від масштабів установки.



Переваги експериментально-аналітичного засобу – краще описує нелінійні властивості об’єкту моделювання, так як дозволяє більш надійно вибирати вигляд рівняння.

Недоліки засобу – ефективні коефіцієнти змінюються у залежності від умови проведення дослідів, тому експериментально–аналітична модель справедлива лише в тому інтервалі, у якому проводився експеримент.

Зіставимо емпіричний та експериментально–аналітичний засоби побудови математичних моделей. Експериментально–аналітичний засіб має перевагу перед чисто експериментальним в тому, що він відбиває теорію процесу. Для врахування впливу явищ, не врахованих при складанні моделі, вводяться ефективні коефіцієнти. В першому засобі експеримент необхідний для одержання моделі, в другому – для визначення коефіцієнтів моделі.



2.6.3. Теоретичний засіб складання математичної моделі


Цей засіб припускає складання математичного опису на основі детального вивчення та глибокого розуміння тих фізичних та хімічних закономірностей процесів, що протікають в ньому. Складений на основі цього засобу математичний опис дає можливість з великою точністю прогнозувати результати протікання процесу у заданих нами умовах.

Теоретичний засіб – найбільш надійний засіб складання математичного опису. Математичний опис об’єкту складають такі частини (рис. 2.7):

1. Матеріальні та енергетичні баланси складаються на основі закону збереження енергії та маси.

2. Обмеження можуть бути зумовлені технологічними, технічними або економічними причинами.

3. Експериментально-аналітичні залежності – моделі елементарних процесів, які входять у складний процес, коефіцієнти та їх залежності від параметрів.

4. Умови протікання елементарних процесів.


Рис. 2.7. Математичний опис об’єкту при складанні моделі теоретичним засобом



Переваги теоретичного засобу:

  • можливість широкої екстраполяції:

  • розділення складного явища на елементарні процеси та дослідження процесу по частинам, що полегшує складання моделі в цілому;

  • можливість вивчення процесу на різних рівнях.

Недоліки засобу:

  • складність утворення надійної теорії складних процесів;

  • неможливість використання при невідомому механізмі процесу;

  • великі витрати часу.

Вибір засобу побудови математичної моделі залежить від важливості та складності процесу. Для масових виробництв необхідні якісні моделі, тут застосовують теоретичний засіб. Цим же засобом користуються при утворенні принципово нових технологічних процесів.

Для дрібносерійних виробництв зі складним характером процесу використовують експериментальний засіб. На практиці, як правило, використовується розумне поєднання всіх засобів.

При вирішенні рівнянь математичного опису з використанням ЕОМ необхідно утворення моделюючого алгоритму («машинної» моделі). Моделюючий алгоритм є перетвореним математичним описом та становить послідовність арифметичних та логічних операцій, записану у вигляді програми.

Задача вибору моделі виникає при наявності для одного й отого ж об’єкту декількох моделей. Вибір моделі є одним з найважливіших етапів моделювання.

При виборі моделі треба виходити з розумного компромісу між складністю моделі, повнотою характеристик ,що одержують з її допомогою та точністю цих характеристик. Так, якщо модель недостатньо точна, то її треба доповнити, уточнити введенням нових факторів. Може також виявитись, що задана модель занадто важка та ті ж результати можна отримати за допомогою більш простої моделі.
2.7. Адекватність математичної моделі
В результаті математичного моделювання буде одержана закінчена математична модель, придатна для розрахунків.

При розробці моделі звичайно допускаються помилки – як грубі, так і несуттєві. Тому одержана математична модель підлягає аналізу з метою підтвердження її достовірності. Проводиться комплекс пробних розрахунків («перший розрахунок»). При цьому отримують початковий масив інформації за результатами математичного моделювання. Одержаний масив піддається аналізу з метою перевірки адекватності (достовірності) математичної моделі.

Термін «адекватний» означає рівний, відповідний, тотожний (лат. adaequatus – прирівняний).

Перевірка адекватності необхідна для підтвердження правильності результатів моделювання.

Перевірка адекватності виконується шляхом порівняння результатів моделювання з еталоном (експеримент, модельний (достовірний) розрахунок, явище тощо).

При наявності еталона умовою адекватності є відповідність виходів моделі та еталона при тотожних входах. Відповідність встановлюється досягненням необхідної точності розрахунків (рис. 2.7).



Рис. 2.7. Схема перевірки адекватності моделі шляхом порівняння її з еталоном

Якщо точні експериментальні дані відсутні, то перевірка адекватності проводиться шляхом статистичного аналізу наближених експериментальних даних або іншими методами.

Якщо адекватність моделі не підтверджується, то здійснюється уточнення напрямку і стратегії моделювання та проводиться доопрацювання моделі відповідно до вищевказаних етапів.

У випадку, коли модель задовольняє умовам адекватності, процес розробки моделі вважається завершеним, і тоді переходять до безпосереднього використання моделі для математичного моделювання процесу чи системи.


2.8. Вимоги до математичних моделей
Розроблена математична модель повинна задовольняти певним вимогам і критеріям. Основними параметрами оцінки якості математичної моделі є точність, економічність, універсальність, інформативність. Головним із цих параметрів є точність.

Точність моделювання оцінюється похибками виходу моделі.

Нехай відображені в математичній моделі властивості об’єкту оцінюються вектором вихідних параметрів, , i параметр, розрахований за допомогою моделі, а – дійсне значення того ж параметра. Тоді відносна похибка математичної моделі по i–му параметру буде рівна:





По цій формулі розраховуються похибки для кожного вихідного параметра, в результаті виходить вектор похибок . Похибка математичної моделі оцінюється за найбільшою похибкою вихідного параметра:



Економічність визначається витратами або часом реалізації процесу математичного моделювання. Витрати розділяються на різні групи. Зокрема це розробка моделі, витрати на експлуатацію обладнання та обчислювальної техніки, витрати на матеріали тощо. Витрати на розробку моделі можуть бути знижені шляхом розширення класу об’єктів, що моделюються, підвищення універсальності моделі.

Універсальність оцінюється широтою охоплення процесів і систем, які моделюються. Звичайно намагаються розробляти універсальні моделі. Універсальність моделі підвищується при використанні блоково–модульної схеми побудови моделей, використання ефективного математичного апарату, гнучкої системи введення–виведення інформації.

Інформативність математичної моделі визначається обсягом одержуваної інформації і залежить від ступеня ідеалізації об’єкта моделювання. Інформативність моделі підвищується з використанням сучасних інформаційних технологій, шляхом впорядкування та узагальнення вихідної інформації.

Всі характеристики математичних моделей взаємозалежні. Як правило, більш точна модель є менш економічною, а універсальна модель є менш точною.


2.9. Точність математичної моделі
Основним критерієм оцінки математичної моделі є точність. Необхідна точність визначається умовою адекватності і залежить від похибок моделювання.

Похибки, які виникають при математичному моделюванні, мають різний характер і величину. Для їх визначення та врахування здійснюється аналіз причин і місця виникнення похибок (рис. 2.8).


Рис. 2.8. Причини виникнення сумарних похибок математичного моделювання процесу чи системи


Похибки введення вхідних та проміжних параметрів поділяються на грубі (10 % і більше), які виникають від недостатньої інформації про дійсні вхідні параметри моделі, а також на несуттєві похибки, пов’язані із особливостями математичного аналізу вхідних параметрів.

Похибки моделі спричинені, як правило, неточностями, допущеними при виборі стратегії моделювання, а також особливостями алгоритму і обчислювальної процедури. Деякі з цих помилок є прогнозованими. Наприклад, використання методу Рунге–Кутта IV–гo порядку при чисельному інтегруванні диференціальних рівнянь вводить похибку обчислень, що відповідає кроку інтегрування в 4–й степені.

Похибки обчислень виникають при виконанні арифметичних операцій, зокрема, це похибки обмеження та похибки округлення. В сучасних ЕОМ ці похибки, як правило, дуже малі.

Похибки виведення та аналізу результатів моделювання можуть бути досить грубими і привести до помилкових висновків при аналізі результатів моделювання. Серед похибок виведення можна виділити похибку інтерполяції значень вихідного параметра, похибки, які виникають при екстраполяції процесів, похибки апроксимації та згладжування, похибки, що викликаються високочастотними осциляціями вихідних параметрів, та інші.

Похибки інтерполяції часто виникають при формуванні виходу моделі у вигляді розрахункового масиву значень вихідного параметра. При інтерполяції елементів масиву втрачається інформація про поведінку вихідного параметра між двома елементами масиву.

Розрахунок виходу моделі виконується звичайно в певних межах зміни параметрів. Наприклад, для нескінченного діапазону зміни параметра вибирається обмежений, досить великий діапазон розрахунку. В подальшому для одержання наукових результатів здійснюється оцінка характеру зміни виходу моделі за межами розрахункового діапазону. При цьому виникають як грубі, так і несуттєві похибки екстраполяції результатів математичного моделювання.

Виведення результатів моделювання потребує обмеження числового матеріалу до вигляду, який включає 4..10 значущих цифр. При цьому виникають похибки апроксимації та згладжування досить грубих значень модельованого процесу.

Похибки внаслідок високочастотних осциляцій виходу можуть суттєвим чином вплинути на результати моделювання, їх врахування часто призводить до необхідності зміни стратегії моделювання, використання спеціальних алгоритмів і програмного забезпечення.

Це має місце, наприклад, при чисельному інтегруванні «жорстких» диференціальних рівнянь.

Таким чином, при розробці та використанні моделі обов’язково є похибки – як грубі, так і несуттєві. Оцінки похибок проводяться при перевірці адекватності моделі.

Як міру точності математичного моделювання використовують вектор похибок розрахунку. Достовірні значення параметрів звичайно знаходять в результаті експериментальних вимірювань.

Математична модель вважається точною, якщо абсолютні або відносні похибки не перевищують встановлених граничних значень.

Результати експериментальних вимірювань та розрахунків, як правило, є випадковими величинами. У цьому випадку мірою точності математичного моделювання є моменти розподілу значень похибок: математичні сподівання, дисперсії тощо.

При математичному моделюванні випадкових процесів мірою оцінки точності вибирають характерні значення кореляційної функції чи спектральної щільності процесу. Порівняння розрахункових та експериментальних спектральних щільностей часто здійснюють по частотних діапазонах або по величині резонансних піків.

Результати моделювання та експериментальні дані часто представляють собою функції з нескінченною областю визначення.

Наприклад, перехідні процеси в системах автоматичного керування мають вигляд нескінченного процесу (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Приклад оцінки точності математичного моделювання процесу з нескінченною областю визначення: 1 – залежність, одержана в результаті математичного моделювання; 2 – експериментально визначений процес
Функції з нескінченною областю визначення можуть порівнюватись між собою шляхом визначення та порівняння їх характерних значень.

Наприклад, для процесу, зображеного на рис. 2.9, можна використати порівняння значень процесів при або .

Можна дати оцінку точності розрахунку за якимось середнім параметром, наприклад, за часом перехідного процесу:

Для оцінки точності допускається використовувати відносну похибку розрахунку. Ця величина змінюється в широких межах і незручна для аналізу.

Для оцінки точності можна використати максимальне значення нормованої похибки, характерні параметри процесу, наприклад, період коливань, частота коливань, логарифмічний декремент коливань.

При математичному моделюванні використовують інтегральні оцінки точності, які мають вигляд деяких функціоналів, тобто залежностей, визначених на певній множині функцій.

Вибір необхідної функціональної залежності здійснюється з врахуванням особливостей системи і поставленої мети моделювання.

ТЕМА 3

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ОПТИМІЗАЦІЇ
3.1. Загальна постановка і види задач прийняття рішень
При проектуванні будь-яких технічних об’єктів, технологічних процесів і систем завжди вирішуються задачі вибору і прийняття рішень.

Задачею прийняття рішення називають сукупність

,

де Х – множина варіантів вирішення задачі;



– принцип оптимальності, що дає уявлення про якість варіантів. В простому випадку – це правило їх переваги один перед одним.

Розв’язком задачі прийняття рішень називається множина , яка є підмножиною множини , отримана на основі принципу оптимальності.

Задачі прийняття рішень класифікуються по наявності інформації про і бувають трьох видів:



  1. і О – невідомі. Це загальна задача прийняття рішень. Дані для отримання визначають в даній задачі в процесі її вирішення.

  2. – невідомо, О – відомо (це задача пошуку варіантів).

  3. і О – відомі ( це задача оптимізації).

У загальному випадку задача прийняття рішення вирішується в два етапи:

1 етап: Задача формалізується, тобто будується її математична модель, в якій конкретні фізичні, технічні, технологічні, економічні умови і вимоги до об’єкту втілюються у вигляді задачі оптимізації з визначеною цільовою функцією і допустимою множиною варіантів.

2 етап: Розв’язок задачі оптимізації з використанням відомих методів.

«Теорія оптимізації», з одного боку, є самостійною наукою, а, з іншого боку, складовою частиною науки під назвою «Дослідження операцій».



Операція (у даній науці) – це сукупність взаємоузгоджених дій, направлених на досягнення цілком певної мети.

Обов’язково повинно бути сформульована мета. Якщо є різні шляхи досягнення цієї мети, то необхідно знайти якнайкращий з них.


3.2. Постановка задачі оптимізації
Оптимізація – цілеспрямована діяльність, що полягає в одержанні найкращих результатів при відповідних умовах. Пошуки оптимальних рішень привели до створення спеціальних математичних методів і вже в 18 столітті були закладені математичні основи оптимізації – варіаційне числення, чисельні методи та інші.. Однак до другої половини 20 століття методи оптимізації в багатьох галузях науки і техніки застосовувалися дуже рідко, оскільки практичне використання математичних методів оптимізації вимагало величезної обчислювальної роботи, що без ЕОМ реалізувати було украй важко, а в ряді випадків – неможливо.

При постановці задачі оптимізації необхідно:



1. Наявність об’єкта оптимізації і мети оптимізації. При формулювання задачі оптимізації повинно вимагатися екстремального значення лише однієї величини, тобто одночасно системі не можна приписуватися два і більш критерії оптимізації, тому що практично завжди екстремум одного критерію не відповідає екстремуму іншого.

Типовий приклад неправильної постановки задачі оптимізації: «Одержати максимальну продуктивність при мінімальної собівартості». Помилка полягає в тому, що ставиться задача пошуку оптимуму 2-х величин, що суперечать один одному по своїй суті. Правильна постановка задачі могла бути наступна:

а) одержати максимальну продуктивність при заданій собівартості;

б) одержати мінімальну собівартість при заданій продуктивності.

У першому випадку критерій оптимізації – продуктивність, а в другому – собівартість.

2. Наявність ресурсів оптимізації, під якими розуміють можливість вибору значень деяких параметрів об’єкта, що оптимізується. Об’єкт повинний мати певні ступені вільності – керуючи параметри.

3. Можливість кількісної оцінки оптимізуємої величини, оскільки тільки в цьому випадку можна порівнювати ефекти від вибору тих чи інших керуючих впливів.

4. Врахування обмежень.
3.3. Критерій оптимальності
Звичайно величина, що оптимізується, повинний оцінюватися якоюсь кількісною характеристикою – критерієм оптимальності.

Критерієм оптимальності називається кількісна оцінка якості об’єкта, що оптимізується. На підставі обраного критерію оптимальності складається цільова функція, що представляє собою залежність критерію оптимальності від параметрів, що впливають на її значення. Вид критерію оптимальності та цільової функції визначається конкретною задачею оптимізації. Таким чином, задача оптимізації зводиться до знаходження екстремуму цільової функції.

Найбільш загальною постановкою задачі оптимізації є вираження критерію оптимальності у виді економічної оцінки – продуктивності, собівартості продукції, прибутку, рентабельності. Однак в окремих задачах оптимізації, коли об’єкт є частиною технологічного процесу, не завжди вдається чи не завжди доцільно виділяти прямий економічний показник, який би повністю характеризував ефективність роботи розглянутого об’єкта. У таких випадках критерієм оптимальності може служити технологічна характеристика, що побічно оцінює економічність роботи агрегату – час контакту, вихід продукту, ступінь перетворення, температура. Але в будь-якому випадку критерій оптимальності має економічну природу. Розглянемо більш докладно вимоги, що повинні пред’являтися до критерію оптимальності.

1. Критерій оптимальності повинний виражатися кількісно.

2. Критерій оптимальності повинний відбивати найбільш істотні сторони процесу.

3. Бажано щоб критерій оптимальності мав ясний фізичний зміст і легко розраховувався.
3.4. Цільова функція. Математична постановка задача оптимізації
Постановка задача оптимізації включає безліч допустимих рішень і числову функцію , визначену на цій множині, яка називається цільовою функцією.

Не можна ототожнювати критерій оптимальності і цільову функцію.



Цільова функція – це аналітична залежність між критерієм (критеріями) оптимальності і параметрами, що підлягають оптимізації, з вказівкою напряму екстремуму.

Відмінність понять «критерій» і «цільова функція» полягає в наступному:



  1. Цільова функція може включати більше одного критерію.

  2. Для цільової функції завжди і обов’язково вказується вид екстремуму:

Розрізняють два види завдань оптимізації:



  1. Задача мінімізації.

  2. Задача максимізації.

Щоб вирішити задачу мінімізації функції на множині, необхідно знайти такий вектор (а також відповідне значення цільової функції ), щоб нерівність: виконувалося для всіх . При цьому називають оптимальним рішенням (точніше тут – мінімальним рішенням),а – оптимумом (мінімумом).

Щоб вирішити задачу максимізації функції на множині, необхідно знайти такий вектор ( а також відповідне значення цільової функції ), щоб нерівність: виконувалася для всіх . При цьому називають оптимальним (максимальним ) рішенням, а – оптимумом (максимумом).

У загальному вигляді знаходиться саме вектор , оскільки, наприклад, при рішенні двохпараметричної задачі, він включатиме два параметри, трьохпараметричною – три параметри і т.д.
3.5. Локальний і глобальний мінімум (максимум) цільової функції
При вирішенні задач оптимізації слід враховувати, який вигляд має цільова функція.

Наприклад, . Цільова функція має вигляд, як показано на рис. 3.1.


Рис.3.1. Ілюстрація понять «Локальний мінімум» і «глобальний мінімум» цільової функції
Тут – глобальний мінімум, а – локальний мінімум цільової функції.

Рис.3.2. Ілюстрація понять «Локальний максимум» і «глобальний максимум» цільової функції
Нехай тепер , а цільова функція має вигляд, як показано на рис.3.2.

Тут – точка глобального максимуму, – точка локального максимуму цільової функції.

 

3.6. Можливість вирішення задач оптимізації

 

Приведена вище задача оптимізації має вирішення не при будь-яких цільових функціях і допустимих множинах. Існують задачі, в яких неможливо знайти оптимальний розв’язок і екстремум цільової функції. Наприклад, не існує точок мінімуму функції однієї змінної на множині у випадках, приведених нижче на рис. 3.3, 3.4 і 3.5.




Рис.3.3. Ілюстрація випадку, коли безліч допустимих рішень не замкнута
Тут межа «а» безлічі допустимих рішень в інтервал входить, а межа «b» ні. – множина не замкнута, отже – не існує.

Рис.3.4. Ілюстрація необмеженості множини допустимих рішень


У випадку, представленому на рис.3.4, визначена лише одна ліва межа безлічі допустимих рішень. , тобто множину допустимих рішень необмежено.

На рис.3.5. показаний ще один випадок, коли задача оптимізації не має однозначного рішення.

Тут функція не є безперервною, оскільки в точці існують два значення функції – та .

Отже, задача оптимізації вирішується, якщо виконуються наступні три умови:



  1. Множина допустимих рішень замкнута, тобто якщо граничні точки належать цій множині.

  2. Множина обмежена.

  3. Цільова функція безперервна.

Це нестроге формулювання теореми Вейерштрасса.


Рис.3.5. Ілюстрація випадку, коли функція f(x) не є безперервною
3.7. Задачі математичного програмування

 

Задачами математичного програмування називають однокритеріальні задачі оптимізації. При їх розв’язку оперують з детермінованими математичними моделями. Нагадаємо, що детермінована математична модель відображає поведінку об’єкту з позицій повної визначеності в сьогоденні і майбутньому.



Ці моделі в дослідженні операцій займають одне з головних місць. Це обумовлено тим, що в них відображені різноманітні проблеми розподілу обмежених ресурсів в економіці, військовій справі, створенні нової техніки і т.д. Шляхи вирішення цих проблем так чи інакше пов’язані з плануванням цілеспрямованої діяльності, тобто з розробкою певних установок на майбутнє.

Термін «програмування» (від англійського «programming» - складання плану або програми дій) тут слід розуміти в сенсі «пошук найкращих планів» (на відміну від того тлумачення, яке прийняте фахівцями з програмного забезпечення ЕОМ, – «складання програми для ЕОМ»).



Задача математичного програмування формулюється таким чином: знайти значення змінних, при якому цільова функція буде приймати максимальне (мінімальне) значення за умов:

Розрізняють два види задач математичного програмування:



  1. Задачі лінійного програмування.

  2. Задачі нелінійного програмування.

У перших задачах функція і обмеження лінійні відносно змінних . У других задачах цільова функція і (або) умови мають різного роду нелінійності.

 

3.7.1. Графо-аналітичний метод вирішення однопараметричної задачі оптимізації

 

Цим методом вручну вирішуються прості задачі оптимізації. Математичні моделі в цих задачах не повинні бути складними, оскільки інакше потрібний багато часу для їх вирішення. Спершу розглянемо однопараметричне однокритерійне завдання оптимізації.



Постановка задачі: Даний один критерій . Об’єкт (процес) описаний рівнянням (рівняннями), що включають один шуканий параметр . Є система обмежень:

і.т.д.


Необхідно знайти оптимальне значення параметра, при якому цільова функція приймає максимальне або мінімальне значення.

Задача вирішується в два етапи:



  1. Побудова області допустимих рішень (ОДР).

  2. Знаходження в межах ОДР оптимального розв’язку.

При побудові ОДР на першому етапі розглядається система обмежень. Всі обмеження повинні бути виконані. Виконання першого обмеження в приведеній вище постановці задачі оптимізації означає, що шукане значення параметра повинне знаходитися правіше, причому, в дозволений інтервал входить (рис. 3.6). Виконання другого обмеження означає, що шукане значення параметра повинне знаходитися в інтервалі (на відрізку). потрібно враховувати, що межі інтервалу в інтервал входять.

Коли однопараметрична однокритерійна задача оптимізації вирішується із застосуванням графоаналітичного методу вручну, то на другому етапі застосовують метод перебору. Суть його полягає в наступному. У межах ОДР через певний інтервал h вибирається ряд значень параметра . У випадку, що розглядається нами, ОДР розбита на чотири відрізки, і вибрано п’ять значень параметра . Для цих значень параметра розраховуються відповідні значення цільової функції. Серед них знаходять мінімальне (максимальне) значення. Значення параметра, при якому цільова функція приймає мінімальне (максимальне) значення, є оптимальним.

При розв’язку практичних задач оптимізації завжди слід враховувати вид цільової функції. Це значно спрощує роботу як при розв’язку завдань оптимізації вручну із застосуванням графоаналітичного методу, так і при рішенні таких задач з використанням комп’ютерних програм. Причому, це відноситься і до випадку використання готових програм, і, що особливо важливе, до розробки власних програм.


Рис.3.6. Графічна ілюстрація рішення однопараметричної однокритерійної задачі оптимізації
Розглянемо, наприклад, наступний окремий випадок, коли цільова функція лінійна (рис. 3.7.).

Рис.3.7. Графічна ілюстрація розв’язку однопараметричної однокритерійної задачі оптимізації для випадку лінійної цільової функції
В даному випадку на другому етапі обчислюють значення цільової функції тільки на межах ОДР. Ці значення порівнюють і вибирають найменше або найбільше.

3.7.2. Графо-аналітичний метод вирішення багатопараметричної задачі оптимізації

Розглянемо тепер графоаналітичний метод рішення багатопараметричної однокритерійної задачі оптимізації. Вручну цим методом реально можна вирішити максимум двохпараметричні задачі оптимізації.



Постановка задачі: Даний один критерій . Об’єкт(процес) описаний рівнянням (рівняннями), що включають ряд параметрів . Є система обмежень:

Потрібно визначити оптимальне значення ряду параметрів, при яких цільова функція приймає максимальне або мінімальне значення.



Приклад. Даний критерій . Потрібно знайти і , при яких цільова функція приймає максимальне значення . Обмеження:


Задача вирішується знову в два етапи:

  1. Побудова ОДР.

  2. Знаходження в межах ОДР оптимального розв’язку.

Побудова ОДР в даному завданні на відміну від завдання однопараметричною полягає в тому, що працювати потрібно в двох напрямах. У результаті в площині ОДР буде многогранником (рис. 3.8). Для побудови нелінійного обмеження спочатку необхідно прирівняти ліву і праву частини нерівності і побудувати відповідну криву:

.



1

2

5



10

5

2

Після цього потрібно визначити напрям допустимості шуканих параметрів і . Щоб не помилитися, для цього можна застосувати наступний прийом. Виберемо довільну точку на площині з будь-якого боку кривої. Наприклад, виберемо точку з координатами , тобто «справа - вгорі» від кривій. Обчислимо значення лівої частини нерівності: , отже, нерівність виконується. Це означає, що вибрана точка знаходиться в допустимій області шуканих параметрів. Тобто допустима область шуканих параметрів знаходиться «справа - вгорі» від кривої.

На другому етапі необхідно обчислити значення цільової функції в межах ОДР. У даному прикладі шукана точка, що визначає оптимальні значення шуканих параметрів, знаходитися на межі ОДР: . Якщо , то .



Рис. 3.8. Графічна ілюстрація рішення двохпараметричної однокритерійної задачі оптимізації
ТЕМА 4

ОСНОВИ РОБОТИ В МАTHCAD
1   2   3   4   5   6   7   8


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка