Київський національний університет імені Тараса Шевченка Механіко-математичний факультет



Скачати 33.11 Kb.
Дата конвертації20.11.2016
Розмір33.11 Kb.
Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Механіко-математичний факультет

Кафедра алгебри та математичної логіки
«ЗАТВЕРДЖУЮ»
Голова вченої ради механіко-математичного факультету
професор І.О.Парасюк
Протокол № 13 від 30.06.2005

П Р О Г Р А М А

Нормативного курсу

«Алгебра і теорія чисел» для студентів 2-го курсу

механіко-математичного факультету

(спеціальність – математика, статистика)
Лекцій -70 год

Лабораторні заняття -70 год

Програма складена і затверджена на засіданні кафедри алгебри та математичної логіки, протокол №14 від 29.06.2005 року

Завідувач кафедри
А.П.Петравчук

Програма


Нормативного курсу: "Алгебра і теорія чисел" Лекційних годин - 70 , лабораторних годин - 70 Спеціальність "математика"

Вступ

Алгебра як наука про рівняння і як наука про алгебраїчні операції. Короткі відомості про історію розвитку алгебри. Українська алгебраїчна школа. Огляд змісту курсу і рекомендованої літератури. Проблеми української наукової мови стосовно алгебри і теорії чисел (розглядаються також під час вивчення окремих розділів).


1. Елементи теорії груп

Означення, приклади, найпростіші властивості груп. Циклічні групи, їх опис. Порядок елемента групи. Підгрупи, суміжні класи, теорема Лагранжа. Нормальні підгрупи і факторгрупи. Гомоморфізм груп, теорема про гомоморфізм. Дія групи на множині. Орбіти, формула орбіт, приклади її застосування.

Абелеві групи. Вільні абелеві групи. Теорема про підгрупи вільних абелевих груп. Класифікація скінченних абелевих груп.

Поняття про зображення групи. Приклади зображень. Незвідні зображення. Лема Шура та наслідки з неї. Теорема Машке. Поняття про інваріанти. Приклади. Теорема про симетричні многочлени та її застосування.


2. Кільця і поля

Означення; приклади і найпростіші властивості кілець і полів. Характеристика поля. Ідеали і фактор-кільця. Розширення полів. Символічне приєднання кореня. Поле розкладу многочлена, його існування та єдиність.

Алгебраїчно замкнені поля. "Основна теорема алгебри". Поняття про алгебраїчні і трансцендентні числа. Ознака Ліувілля трансцендентності.

Скінченні поля. Існування і єдиність поля з р" елементів. Циклічність мультиплікативної групи скінченного поля.

Застосування до теорії чисел. Існування первісного лишка за простим модулем. Символ Лежандра, його властивості. Квадратичний закон взаємності. Функції Ейлера та Мебіуса, їх властивості та застосування.

Евклідові кільця. Приклади (кільця цілих чисел, многочленів, цілих гаусових чисел). Розклад на прості множники і його однозначність в евклідових кільцях. Застосування: теорема про зображення натуральних чисел у вигляді суми двох


квадратів. Приклади кілець алгебраїчних чисел з неоднозначним розкладом на прості множники.
3. Основи теорії Галуа

Сепарабельні і нормальні розширення. Група Галуа нормального розширення, приклади її обчислення. Відповідність Галуа між підгрупами і підполями. Основна теорема теорії Галуа.

Задача про розв'язність рівнянь у радикалах. Циклічні розширення, їх радикальність. Розв'язні групи. Критерій Галуа розв'язності рівнянь у радикалах. Приклади розв'язання рівнянь у радикалах. Простота знакозмінної групи і нерозв'язність у радикалах загального рівняння ступеня n>4. Приклади рівнянь, що не мають розв'язків у радикалах. Зв'язок з геометричними побудовами.
4. Аналітичні методи в теорії чисел

Проблема розподілу простих чисел. Дзета-функція Рімана, її властивості. Ейлерів добуток, його застосування. Поняття про асимптотичний закон розподілу простих чисел.



Рекомендована література:

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.- Москва: Наука.-1977.

2. Фаддеев Д.К., Лекции по алгебре - Москва: Наука,-1983.

3. Виноградов И.М., Основи теории чисел. - Москва: Наука.-1985.

4. Артін Е., Теорія Галуа.- Київ: Вища школа.-1963.

5. Фаддеев Д. К., Соминский И.С., Сборник задач по по высшей алгебре. – Москва: Наука.- 1977.



6. Сборник задач по алгебре. (под редакцией А.И.Кострикина) - Москва:

Наука,-1987.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка