Київський національний університет імені Тараса Шевченка механіко-математичний факультет



Скачати 350.14 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації01.01.2017
Розмір350.14 Kb.
  1   2   3
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
механіко-математичний факультет

Кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь

Укладач(і): професор Перестюк М.О., професор Парасюк І.О.,

доцент Капустян О.В.


Диференціальні рівняння

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

назва дисципліни
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності: “статистика”

--------------------------------------------------------------

шифр і назва напряму (спеціальності)

Затверджено


на засіданні кафедри

Протокол № ___

від „___”_________________

Зав. кафедри

_____________ ____________

Підпис Прізвище, ініціали

Декан факультету/ Директор інституту



_________________________

Прізвище, ініціали

Робоча навчальна програма з дисципліни «Диференціальні рівняння».


Назва навчальної дисципліни


Укладач(і): доктор фіз.-мат. наук, професор Перестюк М.О.,

доктор фіз.-мат. наук, професор Парасюк І.О.,

канд. фіз.-мат. наук, доцент Капустян О.М.

Лектор(и): Доктор фіз.-мат. наук, професор Перестюк М.О.

Науковий ступінь, вчене звання, прізвище та ініціали
Викладач(і): Ловейкін Ю.В.

Науковий ступінь, вчене звання, прізвище та ініціали викладача(ів),

який(і) веде(уть) семінарські, практичні, лабораторні заняття

Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 200__р.
___________________________

Підпис голови НМК факультету/ інституту

Передмова

Диференціальні рівняння є базовою математичною дисципліною циклу професійної та практичної підготовки бакалавра статистики. Вона викладається на ІІ курсі у 3-му та 4-му семестрах в обсязі 324 години (9 кредитів), з них лекцій 87 год. (36 год. у 3-му та 51 год. у 4-му семестрах), практичних занять 70 год. (36 год. у 3-му та 34 год. у 4-му семестрах), самостійна робота 167 год. (72 год. у 3-му та 95 год. у 4-му семестрах). Формами підсумкового контролю є залік у 3-му семестрі , залік та іспит у 4-му семестрі.



Мета і завдання навчальної дисципліни:

Вивчення основних понять та положень теорії диференціальних рівнянь, ознайомлення з характерними прикладами її застосувань, оволодіння базовими теоретичними та практичними методами дослідження та розв'язування окремих класів диференціальних рівнянь.



Предмет навчальної дисципліни:

Скалярні та векторні звичайні диференціальні рівняння першого та вищих порядків, квазілінійні диференціальні рівняння з частинними похідними; задачі про відшукання, існування, єдиність, залежність від початкових даних та параметрів розв’язків диференціальних рівнянь.



Вимоги до знань та вмінь

Для успішного засвоєння матеріалу студенту необхідно володіти основами математичного аналізу (зокрема, матеріалом розділів “Границі”, “Похідна”, “Інтеграл Рімана”, “Функціональні ряди”, “Диференціальне числення функцій кількох змінних”, “Існування оберненого відображення та неявної функції”, “Метричні простори”, “Принцип стиснених відображень”), лінійної алгебри (зокрема, матеріалом розділів “Лінійні простори”, “Лінійні оператори”, “Жорданова нормальна форма”, “Квадратичні форми”), аналітичної геометрії (зокрема, матеріалом розділів “Системи координат”, “Криві другого порядку”).



Місце навчальної дисципліни в структурно-логічній схемі освітньо-професійної програми підготовки бакалавра математики.

Дисципліна “Диференціальні рівняння” є складовою циклу професійної та практичної підготовки бакалавра статистики. ЇЇ викладанню передує вивчення таких математичних дисциплін, як “Аналітична геометрія”, “Математичний аналіз І”, “Лінійна алгебра”. Паралельно з нею узгоджено, шляхом взаємного обміну необхідними поняттями та фактами вивчаються такі дисципліни, як “Математичний аналіз ІІ”, “Диференціальна геометрія та топологія”. У подальшому матеріал курсу "Диференціальні рівняння" використовується при викладанні таких дисциплін: "Рівняння математичної фізики", "Функціональний аналіз", "Варіаційне числення та методи оптимізації", "Теоретична механіка", “Математична економіка”, низки спеціальних курсів.


Система поточного, модульного та підсумкового контролю

Навчальна дисципліна "Диференціальні рівняння" оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона поділена на 4 змістових модулі.

Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шкалою в кожному семестрі окремо.

Контроль знань.

Контроль здійснюється за модульно-рейтинговою системою.

Оцінювання за формами контролю:

Поточний


  • усна відповідь, домашня письмова робота, доповнення – по 1 балу, але в сумі не більше 20 балів за змістовий модуль

  • письмові самостійні –(1 на змістовий модуль) – 20 балів

  • модульна контрольна робота або колоквіум – 60 балів

За результатами кожного семестру студент отримує підсумкову оцінку за 100-бальною системою, яка розраховується як середньозважене оцінок за кожен із двох модулів у семестрі та оцінки за іспит за наступною формулою.



І семестр




Змістовий модуль 1

Змістовий модуль 2

Залік

Разом
(підсумкова оцінка)


Вагові коефіцієнти (%)

30%

k1=0,3



30%

k2=0,3



40%

kзалік=0,4



100%

Максимальна оцінка в балах

100

100

100

100

Оцінка (бали)

30

30

40

100

ІІ семестр




Змістовий модуль 3

Змістовий модуль 4

Залік, іспит

Разом
(підсумкова оцінка)


Вагові коефіцієнти (%)

30%

k3=0,3



30%

k4=0,3



40%

kзалік = kісп=0,4



100%

Максимальна оцінка в балах

100

100

100

100

Оцінка (бали)

30

30

40

100


При цьому, кількість балів відповідає оцінці:

1-34 – «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням дисципліни;

35-59 – «незадовільно» з можливістю повторного складання;

60-64 – «задовільно» («достатньо») ;

65-74 – «задовільно»;

75 - 84 – «добре»;

85 - 89 – «добре» («дуже добре»);

90 - 100 – «відмінно».

Шкала відповідності1

За 100-бальною шкалою

Оцінка іспиту за національною шкалою

Оцінка заліку за національною шкалою

90 – 100

5

відмінно

зараховано

85 – 89

4

добре

75 – 84

65 – 74

3

задовільно

60 – 64

35 – 59

2

незадовільно

не зараховано

1 – 34


НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ

І семестр

теми

Назва теми

Кількість годин

лекції

семінари/ лаборат., практичні

самост. робота

Інші форми контр.

Змістовий модуль 1

Скалярні диференціальні рівняння першого порядку

1

Інтегровні типи диференціальних рівнянь першого порядку

6

10

16




2

Якісний аналіз рівнянь першого порядку

6

2

10




3

Рівняння в повних диференціалах та інтегрувальний множник

4

8

10




Модульна контрольна робота




2







Змістовий модуль 2
Елементи загальної та якісної теорії диференціальних рівнянь на площині

4

Існування, єдиність та продовжуваність розв'язку задачі Коші для рівняння 1-го порядку

8

4

14




5

Симетричні рівняння та автономні системи на площині, класифікація їхніх портретів в околі особливої точки за лінійним наближенням

6

4

10




6

Рівняння, нерозв’язані відносно похідної та особливі розв’язки

6

4

12




Модульна контрольна робота




2










ВСЬОГО

36

36

72



Загальний обсяг __144__ год., в тому числі:

Лекцій_36___ год.

Семінари/лабораторні, практичні_36___ год.



Самостійна робота - _72___ год.

НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ

ІІ семестр

теми

Назва теми

Кількість годин

лекції

семінари/ лаборат., практичні

самост. робота

Інші форми контр.

Змістовий модуль 3

Диференціальні рівняння вищих порядків.

Теорія лінійних диференціальних рівнянь та систем

7

Методи інтегрування та зниження порядку диференціальних рівнянь вищих порядків

2

2

6




8

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

8

8

14




9

Диференціальні рівняння другого порядку

8

4

12




10

Системи лінійних диференціальних рівнянь

8

8

16




Модульна контрольна робота




2

48




Змістовий модуль 4
Основи загальної теорії систем диференціальних рівнянь та теорії стійкості

11

Існування, єдиність, продовжуваність та характер залежності розв’язку задачі Коші від початкових даних та параметрів

10

2

16




12

Теорія перших інтегралів систем диферен-ціальних рівнянь

4

2

6




13

Основи теорії стійкості розв’язків систем дифе-ренціальних рівнянь

6

4

14




14

Метод характеристик розв’язування дифе-ренціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку

5

2

7




Колоквіум







4







ВСЬОГО

51

34

95




Загальний обсяг 180 год., в тому числі:

Лекцій_51___ год.

Семінари/лабораторні, практичні_34___ год.

Самостійна робота - __95__ год


Змістовий модуль 1. Скалярні диференціальні рівняння першого порядку
Тема 1. Інтегровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
Лекція 1. Виникнення та основні поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь.

Історична довідка. Геометричні та фізичні задачі, які приводять до звичайних диференціальних рівнянь. Означення диференціального рівняння 1-го порядку та його розв'язку. Постановка задачі Кошi. Поняття поля напрямів і інтегральної кривої.


Лабораторна робота 1 (2 год.). Задачі на складання диференціальних рівнянь. Поняття розв’язку [1, Вступ], [2, п.1.3], [3, §1, 3] .

Завдання для самостійної роботи 1 (4 год.) Виконати один з варіантів завдання 1.1 a) [4], завдання позааудиторної роботи до заняття 1 [5]. Опрацювати [1, Вступ], [2, п.1.3]
Лекція 2. Інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку.

Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними. Заміни змінних в диференціальних рівняннях 1-го порядку. Однорiдне та квазiоднорiдне рiвняння.


Лабораторна робота 2 (2 год.). Рівняння з відокремлюваними змінними. [2, п. 1.2],

Лабораторна робота 3 (2 год.). Однорідні та квазіоднорідні рівняння. [2, п. 1.4]

Завдання для самостійної роботи 2 (4 год.). Виконати завдання позааудиторної роботи до занять 2,3,4 [5]. Опрацювати [1,п.п. 1.1.1, 1.1.3], [2, п.п. 1.2, 1.4]
Лекція 3. Інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку (продовження)

Лiнiйне рiвняння. Рiвняння Бернуллi. Рівняння Ріккаті.


Лабораторна робота 4 (2 год.). Лінійні рівняння. Метод Бернуллі. Метод Лагранжа. Метод Ейлера. [2, п. 1.5].

Лабораторна робота 5 (2 год.). Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. [2, п. 1.5].

Завдання для самостійної роботи 3 (8 год.) Виконати один з варіантів завдання 4 [4], завдання позааудиторної роботи до занять 5,6,7 [5]. Опрацювати [1, п.п. 1.1.2, 1.1.4], [2, п. 1.5]

Тема 2. Якісний аналіз рівнянь першого порядку
Лекція 4. Скалярне автономне рівняння першого порядку.

Теореми iснування та єдиностi розв'язку. Межi iнтервалу iснування. Особливi розв'язки, умови їх iснування.



Завдання для самостійної роботи 4 (2 год.) Завершити виконання завдання 1 [4]. Опрацювати [1, п.1.2.1].
Лекція 5. Векторне поле на прямiй. Побудова графiкiв iнтегральних кривих за графiком функцiї, що описує векторне поле. Аналiз моделi одновидової популяцiї.

Завдання для самостійної роботи 5 (2 год.) Виконати один з варіантів завдання 2.2 [4]. Опрацювати [1, п.п. 1.2.2, 1.2.3].
Лекція 6. Лінійне періодичне рівняння першого порядку.

Мультиплікатор. Поведінка розв’язків однорідного періодичного рівняння. Існування періодичного розв'язку неоднорідного рівняння.


Лабораторна робота 6 (2 год.). Побудова портретів автономних скалярних рівнянь першого порядку. Дослідження моделі економічного росту. Особливі розв’язки. Дослідження розв’язків лінійних рівнянь. [1, п.п. 1.2.4, 1.2.5, 1.3], [3, § 5].

Завдання для самостійної роботи 6 (6 год.) Опрацювати теоретичний матеріал та задачі до [1, п.п. 1.2.4, 1.2.5, 1.3]

Тема 3. Рівняння в повних диференціалах та інтегрувальний множник

Лекція 7. Рiвняння в повних диференцiалах.

Означення рівняння в повних диференціалах. Точні та замкнені диференціальні форми. Інтегрування в квадратурах.


Лабораторна робота 7 (2 год.). Розв’язування рівнянь в повних диференціалах. [2, п. 1.6].

Завдання для самостійної роботи 7 (2 год.) Виконати завдання позааудиторної роботи заняття 7 [5]. Опрацювати [1, п.п. 1.7.1], [2, п. 1.6].
Лекція 8. Iнтегрувальний множник.

Означення інтегрувального множника. Його існування та неєдиність. Деякi способи вiдшукання інтегрувального множника.



Лабораторна робота 8 (2 год.). Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою інтегрувального множника. [2, п.п. 1.6]

Лабораторна робота 9 (2 год.). Способи відшукання інтегрувального множника. [2, п. 1.6]

Лабораторна робота 10 (2 год.). Розв’язування різних типів диференціальних рівнянь. [3, §9].

Завдання для самостійної роботи 8 (8 год.) Виконати завдання позааудиторної роботи занять 8, 9 [5]. Опрацювати [1, п.1.7.2], [2, п.п. 1.6].
Лабораторна робота 11 (2 год.). Модульна контрольна робота.
Контрольні запитання та завдання.

  1. Що таке розв'язок диференціального рівняння, поле напрямів, інтегральна крива.

  2. Сформулювати теорему про існування розв’язку задачі Коші для скалярного автономного рівняння.

  3. Сформулювати критерій існування особливого розв’язку такого рівняння.

  4. Узагальнити теорію автономного скалярного рівняння на випадок рівняння з відокремлюваними змінними.

  5. Описати методи інтегрування в квадратурах: однорідних, квазіоднорідних, лінійних рівнянь, рівнянь Бернуллі та Ріккаті .

  6. Сформулювати теорему про обмежений розв’язок лінійного рівняння.

  7. Сформулювати теорему про періодичний розв’язок лінійного рівняння.

  8. Чи є зв'язок між існуванням обмеженого і періодичного розв'язку лінійного рівняння?

  9. Означення та коефіцієнтний критерій рівняння в повних диференціалах. Як знайти загальний інтеграл такого рівняння.

  10. Дати означення інтегрувального множника, перелічити способи його відшукання.


Зразок типової модульної контрольної роботи 1-го змістового модуля

  1. Розв'язати рівняння: .

  2. Розв'язати рівняння: .

  3. Розв'язати рівняння: .

  4. Розв'язати рівняння: .

  5. Методом інтегрувального множника розв'язати рівняння: .

  6. Розв'язати рівняння: .



Змістовий модуль 2. Елементи загальної та якісної теорії диференціальних рівнянь на площині

Тема 4. Існування, єдиність та продовжуваність розв'язку задачі Коші для рівняння 1-го порядку
Лекція 9. Теореми Пеано та Пiкара.

Ламані Ейлера. Формулювання теореми Пеано. Зведення задачі Коші до інтегрального рівняння. Метод послідовних наближень. Теорема Пікара.



Завдання для самостійної роботи 9 (2 год.) Розпочати виконання завдання 3 [4]. Опрацювати [1, п. 1.4].
Лекція 10. Доведення теореми Пікара.

Обґрунтування збіжності методу послідовних наближень. Оцінка відхилення точного і наближеного розв’язку. Єдиність розв’язку.


Лабораторна робота 12 (2 год.). Застосування теореми Пікара та методу послідовних наближень. Оцінювання відхилення наближень від точного розв’язку. [1, п. 1.4], [2, п. 1.7], [3, §7].

Завдання для самостійної роботи 10 (4 год.) Виконати один із варіантів завдання 3.3 [4]. Опрацювати теоретичний матеріал та задачі до [1, п. 1.4], [2, п. 1.7].
Лекція 11. Продовження розв'язку початкової задачi.

Лема про склеювання розв’язків. Теорема про продовження графіка розв’язку за межі компакту. Непродовжувані розв’язки.



Завдання для самостійної роботи 11 (2 год.) Завершити виконання завдання 3 [4]. Опрацювати [1, п.1.5.1].
Лекція 12. Елементи геометричного аналізу розв’язків рівнянь першого порядку.

Теорема Кнезера. Теорема про порівняння та її застосування до задачі про продовження розв'язку. Iзоклiни, областi зростання, спадання, опуклості вгору та вниз iнтегральних кривих.


Лабораторна робота 13 (2 год.). Елементи геометричного аналізу диференціальних рівнянь першого порядку. Застосування теореми порівняння. Побудова ізоклiн, відшукання областей зростання, спадання, опуклостi вгору та вниз iнтегральних кривих. [2, п.п. 1.1, 1.7], [3, §1].

Завдання для самостійної роботи 12 (6 год.) Виконати один з варіантів завдання 2.1 [4]. Опрацювати [1, п.п. 1.5.2, 1.5.3, 1.6], [2, п.п. 1.1, 1.7]
Тема 5. Симетричні рівняння та автономні системи на площині, класифікація їхніх портретів в околі особливої точки за лінійним наближенням
Лекція 13. Симетричні рівняння та автономні системи на площині.

Поле напрямів та рівняння в симетричній формі. Векторнi поля та автономнi системи на площинi. Фазовi кривi. Зв'язок з рiвнянням у симетричнiй формi (рiвнянням Пфаффа). Модель типу «хижак-жертва». Її інтегрування та дослідження фазового портрету.



Завдання для самостійної роботи 13 (2 год.) Виконати один з варіантів завдання 2.3 [4]. Опрацювати [1, п.п. 1.8.1­ – 1.8.3], [2, п. 5.5].
Лекція 14. Особливi точки.

Лiнеаризацiя рівняння Пфаффа та автономної системи в околi особливої точки. Лiнеаризована система. Типи її фазових портретiв: вузол, сiдло.



Завдання для самостійної роботи 14 (2 год.) Опрацювати [1, п.п. 1.9.1, 1.9.2], [2, п. 5.5].
Лекція 15. Особливi точки (продовження).

Типи її фазових портретiв: вироджений та дикритичний вузли, фокус, центр. Формулювання теореми Гробмана-Хартмана. Про проблему центра і фокуса.


Лабораторна робота 14 (2 год.). Визначення типів і побудова фазових портретів лінеаризованих систем. [1, п.п. 1.9.2 – 1.9.4],

Лабораторна робота 15 (2 год.). Визначення типів і побудова фазових портретів лінеаризованих систем (продовження). [1, п.п. 1.9.2 – 1.9.4], [3,§16].

Завдання для самостійної роботи 15 (6 год.) Виконати завдання позааудиторної роботи для заняття 15 [5]. Опрацювати [1, п.п. 1.9.2 – 1.9.4], [2, п. 5.5].
Тема 6. Рівняння, нерозв’язані відносно похідної
Лекція 16. Рiвняння, нерозв’язані вiдносно похiдної (неявні рівняння).

Теорема iснування та єдиностi розв'язку неявного рівняння. Особливiсть поняття єдиностi розв’язку. Метод параметризації.


Завдання для самостійної роботи 16 (2 год.) Виконати один із варіантів завдання 5.1 [4], завдання позааудиторної роботи до заняття 12 [5]. Опрацювати [1, п.п. 1.10.1, 1.10.2], [2, п.1.8].
Лекція 17. Інтегрування та геометрична інтерпретація неявного рівняння.

Рівняння Лагранжа та Клеро. Геометрична iнтерпретацiя рівняння Клеро. Контактна площина. Регулярна точка.


Лабораторна робота 16 (2 год.). Інтегрування неявних рівнянь методом параметризації. [2, п. 1.8], [3, §8].

Завдання для самостійної роботи 17 (4 год.) Виконати один із варіантів завдань 5.2, 5.4 [4], завдання позааудиторної роботи до заняття 13 [5]. Опрацювати [1, п. 1.10.3], [2, п. 1.8].
Лекція 18. Особливі розв’язки.

Дискримiнантнi кривi та особливi розв'язки. Методи вiдшукання особливих розв'язкiв. Необхiднi та достатнi умови iснування особливих розв'язкiв. Особливi розв'язки рiвняння Клеро.


Лабораторна робота 17 (2 год.). Особливі розв’язки. [1, п. 1.10.4], [3, §8].

Завдання для самостійної роботи 18 (6 год.) Виконати один із варіантів завдання 5.3 [4], завдання позааудиторної роботи до заняття 14 [5]. Опрацювати [1, п. 1.10.4], [2, п. 1.8]
Лабораторна робота 18 (2 год.). Модульна контрольна робота.
Контрольні запитання та завдання

  1. Сформулювати теорему Пікара.

  2. Описати алгоритм побудови пікарівських наближень. Який вигляд має оцінка похибки?

  3. Сформулювати теорему Пеано. Навести приклад, коли умови цієї теореми не гарантують єдиність розв’язку задачі Коші.

  4. Сформулювати теореми про продовження розв’язку. Що таке непродовжуваний розв’язок.

  5. Довести теорему Кнезера.

  6. Сформулювати теорему про порівняння.

  7. Як можна застосувати теорему порівняння для дослідження питання про продовження розв’язку на нескінченний інтервал.

  8. Описати особливу точку типу вузол.

  9. Описати особливу точку типу сідло.

  10. Описати особливу точку типу вироджений вузол.

  11. Описати особливу точку типу фокус.

  12. Описати особливу точку типу центр.

  13. Задача Коші для для рівняння 1-го порядку, не розв’язаного відносно похідної.

  14. Сформулювати теорему про розв’язку задачі Коші для рівняння 1-го порядку, не розв’язаного відносно похідної.

  15. Записати рівняння Лагранжа. До якого інтегровного рівняння воно зводиться за допомогою параметризації?

  16. Записати рівняння Клеро та його однопараметричну сім’ю розв’язків.

  17. Що таке особливий розв’язок? Описати способи його відшукання.


Зразок типової модульної контрольної роботи 2-го змістового модуля

  1. Перевірити виконання умов теореми Пікара та знайти перші три послідовні наближення , , , .

  2. Дослідити особливу точку системи

  3. Дослідити особливі точки системи

  4. Розв'язати рівняння та знайти розв'язок задачі Коші .

  5. Знайти особливий розв’язок, якщо в результаті інтегрування диференціального рівняння одержано співвідношення .


Змістовий модуль 3. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка