І. Загальна частина Математичний аналіз



Скачати 72.07 Kb.
Дата конвертації05.05.2017
Розмір72.07 Kb.
ПРОГРАМА ВСТУПНОГО ІСПИТУ ДО АСПІРАНТУРИ

ЗА СПЕЦІАЛЬНІСТЮ 01.01.03 – МАТЕМАТИЧНА ФІЗИКА
І. Загальна частина
1. Математичний аналіз.

Метричні простори. Повнота. Компактні множини та їх властивості. Неперервні функції та їх властивості. Теорема про відображення стиску.

Диференційовні функції та відображення однієї та кількох змінних. Похідні вищих порядків. Формула Tейлора. Екстремуми. Теореми про обернену та неявну функцію.

Інтеграл Рімана, його існування та властивості. Граничний перехід під знаком інтеграла.

Теореми про неперервність, інтегровність та диференційовність функціонального ряду.

Невласні інтеграли, їх рівномірна збіжність, неперерність та диференційовність за параметром. Кратні інтеграли по брусу, їх зведення до повторних. Формула заміни змінних. Криволінійні та поверхневі інтеграли. Формули типу Стокса.

Ряд Фур’є, його збіжність у середньому квадратичному.

Вимірні функції та інтеграл Лебега. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

Нормовані лінійні простори. Лінійні функціонали та лінійні оператори, зв’язок неперевності та обмеженості. Теорема Хана-Банаха. Спектр лінійного оператора. Компактні оператори, властивості їх спектра.

Гільбертів простір. Теорема про проекцію. Загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу. Ортонормовані бази. Нерівність Бесселя та рівність Парсеваля. Спряжений оператор, його існування та єдиність. Спектральна теорема для компактного самоспряженого оператора.


2. Лінійна алгебра.

Векторні простори. Бази. Перетворення координат при заміні бази. Лінійні відображення. Матриця лінійного відображення, її перетворення при заміні бази. Дії над матрицями. Підпростори. Сума і перетин підпросторів. Пряма сума. Ядро і образ лінійного відображення, ранг, дефект. Теорема про ранг матриці. Обернене лінійне перетворення, обернена матриця, умови існування.

Визначники. Їх властивості. Квадратичні форми. Закон інерції дійсних квадратичних форм. Критерій Сільвестра додатної означеності квадратичної форми.

Унітарні та евклідові простори. Спряжений оператор, його матриця в ортонормаваній базі. Канонічний вигляд самоспряженого оператора в евклідовому просторі.



3. Комплексний аналіз.

Аналітичні функції. Умови Коші-Рімана. Інтеграл аналітичної функції, його властивості. Інтеграл Коші. Розклад аналітичної функції у степеневий ряд. Теорема Абеля. Радіус збіжності та Формула Коші-Адамара.

Класифікація особливих точок. Ряд Лорана. Теорема про лишки.

Теорема про збереження області.

Перетворення Лапласа та його основні властивості. Застосування операційного числення до розв’язання крайових задач математичної фізики.

4. Геометрія і топологія.

Рівняння ліній та поверхонь. Формули Френе, кривина, скрут. Перша і друга квадратичні форми поверхні.

Топологічні простори. Відкриті і замкнені множини. Гомеоморфізм. Поняття про диференційовний многовид. Дотичний простір до диференційовного многовиду. Векторне поле на многовиді.
5. Теорія ймовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностей. Випадкова величина. Функція розподілу. Щільність розподілу. Математичне сподівання. Дисперсія. Умовні ймовірності. Незалежні випадкові величини. Характеристична функція випадкової величини та її властивості.


6. Звичайні диференціальні рівняння.

Теорема існування та єдиності існування розв’язку задачі Коші для нормальної системи першого порядку. Теорема Пеано. Продовжуваність розв’язку. Теореми про неперервну та диференцiйовну залежнiсть розв'язку задачi Кошi вiд початкових даних та параметрiв у природнiй областi визначення.

Лінійні системи диференціальних рівнянь та лінійні диференціальні рівняння довільного порядку. Існування фундаментальної системи розв’язків. Вронскіан та критерій фундаментальності системи розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля. Загальний розв’язок. Метод варіації довільних сталих розв’язування лінійної неоднорідної системи.

Типи фазових портретiв двовимiрної лiнiйної однорiдної системи зi сталими коефiцiєнтами (вузол, вироджений та дикритичний вузол, сiдло, фокус, центр).

Побудова розв'язкiв лiнiйних рiвнянь другого порядку з регулярною особливою точкою у виглядi узагальнених степеневих рядiв. Структура загального розв’язку. Рівняння Бесселя.

Крайовi задачi для лiнiйних рiвнянь другого порядку. Функцiя Грiна.

Автономнi системи. Потiк. Рух. Траєкторiя. Положення рiвноваги. Лінеаризація в околі положення рівноваги. Поняття про граничний цикл.

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Критерій стійкості лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема Ляпунова про стiйкiсть за першим наближенням. Функція Ляпунова. Перша теорема Ляпунова про стiйкiсть. Теорема про асимптотичну стійкість.


7. Інтегральні рівняння.

Інтегральні рівняня Фредгольма другого роду. Метод послідовних наближень. Ряд Неймана. Резольвента. Інтегральні рівняння Вольтерра. Теорема Фредгольма. Інтегральні рівняння Фредгольма з ермітовим ядром. Теорема Гільберта-Шмідта.


8. Диференціальні рівняння з частинними похідними.

Класифікація лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку. Характеристики. Зведення до канонічного вигляду.

Постановка основних задач для рівнянь еліптичного, гіперболічного та параболічного типів. Питання про коректність задач математичної фізики.

Задача Коші для нормальних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними. Теорема С. Ковалевської.




ІІ. Спеціальна частина
Гіперболічні рівняння. Постановка задачі Коші для хвильового рівняння, її фізичний зміст. Розв’язуваність задачі про вільні та вимушені коливання нескінченної струни. Формула Д’Аламбера, її фізична інтерпретація. Принцип Гюйгенса та дифузія хвиль. Коректність постановки задачі про вільні та вимушені коливання напівнескінченної струни. Розв’язуваність задачі Коші для тривимірного хвильового рівняння: формула Кірхгофа. Метод спуску розв’язування задачі Коші про вільні та вимушені коливання мембрани: формула Пуассона. Поняття про узагальнений розв’язок задачі Коші.

Постановка основних крайових (мішаних) задач для хвильового рівняння, їх фі­зичний зміст. Інтеграл енергії. Єдиність розв’язку основних крайових задач. Не­перервна залежність розв’язку від правої частини рівняння та від початкових умов.

Задача Штурма-Ліувілля. Властивості оператора задачі. Основні властивості власних значень та власних функцій. Зведення задачі Штурма-Ліувілля до інтегрального рівняння. Теорема Стеклова. Повнота системи власних функцій.

Метод Фур’є розв’язування мішаних крайових задач для хвильового рівняння (задачі про вільні та вимушені коливання струни, прямокутної та кругової мембрани).

Параболічні рівняння. Постановка задачі Коші для рівняння теплопровідності, її фізичний зміст. Фундаментальний розв’язок рівняння теплопровідності, інтегральне зображення розв’язку задачі Коші.

Постановка мішаних задач для рівняння теплопровідності, їх фізичний зміст. Єдиність розв’язку. Розв’язування основних крайових задач для рівняння теплопровід­ності методом Фур’є.

Принцип максимуму для розв’язку однорідного рівняння теплопровідності та наслідки з нього.

Умови узгодженості І та ІІ роду для параболічних крайових задач парного порядку.

Еліптичні рівняння. Постановка основних крайових задач для рівняння Пуасcона, їх фізичний зміст. Фундаментальний розв’язок оператора Лапласа.

Формула Гріна для оператора Лапласа. Інтегральне зображення двічі неперервно-диференційованих функцій. Гармонічні функції та їх властивості (теорема про середнє значення, принцип максимуму).

Єдиність розв’язку основних крайових задач для рівняння Пуаcсона.

Теорема про існування та єдиність узагальненого розв’язку крайової задачі Діріхле для еліптичного диференціального оператора другого порядку.

Умова Лопатинського для крайової задачі еліптичного типу.

Функція Гріна оператора Лапласа, її властивості, методи побудови (метод віддзеркалення, метод конформних відображень), застосування до розв’язання основних крайових задач. Формула Пуасcона для круга та кулі. Теорема Ліувілля, теорема Гарнака.



Основні типи потенціалів та їх властивості. Розв'язування задач Діріхле та Неймана (внутрішніх і зовнішніх) методом потенціалів.
ЛІТЕРАТУРА


  1. Арсенин В.Я. Математическая физика. – М.: Наука, 1966.

  2. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ – Киев: Вища школа, 1990.

  3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.

  4. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Лекции по математической физике: Учебное пособие для вузов. –М.: Изд-тво Московского уна,  2004 г.

  5. Борисенко О.А. Диференціальна геометрія і топологія. – Харків: Основа, 1995.

  6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971.

  7. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: – Вища школа, 1979.

  8. Годунов С.К. Уравнения математической физики.–М.: Наука, 1971.

  9. Гончаренко В.М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. –Київ, 1996.

  10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.

  11. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. – К.: Либідь, 1993, 1994. – Ч.1-2.

  12. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла – Киев: Вища шк., 1989.

  13. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел, ч.1, ч.2. – К.: Вища школа, 1976.

  14. Калужнін Л.А., Вишенський В.А., Шуб Ц.О. Лінійні прoстори. – К.:Вища школа, 1971.

  15. Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – Київ: Твімс, 2004.

  16. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

  17. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970.

  18. Курант Р. Уравнения с частными производными. ­ – М.: Мир, 1964.­­­­­

  19. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –Физматгиз, 1958.

  20. Масленникова В.Н.. Дифференциальные уравнения в частных производ­ных. ­– M.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1997.

  21. Мизохата. С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977.

  22. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных – М.: Наука, 1976.

  23. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968.

  24. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.: М.: Изд-во МГУ, 1980.

  25. Очан Ю.С. Методы математической физики.–М.: Высшая школа, 1965.

  26. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики. – К.: Либідь, 2001.

  27. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961.

  28. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977.

  29. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – М.: Высшая школа, 1964.

  30. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. – К: Либідь, 1994.

  31. Скороход А.В. Елементи теорії ймовірностей та випадкові процеси – Київ: Вища школа, 1975.

  32. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.–М.: Наука, 1966.

  33. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М: ГИФМЛ, 1958.

  34. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка