Фінансова математика фондового ринку



Сторінка1/4
Дата конвертації01.01.2017
Розмір0.72 Mb.
  1   2   3   4
ФІНАНСОВА МАТЕМАТИКА ФОНДОВОГО РИНКУ

Одноперіодичні моделі фінансового ринку. Портфель інвестора. Арбітражна можливість фінансового ринку. Допоміжна лема про арбітраж. Міри, нейтральні до ризику. Перша основна теорема фінансової математики. Досяжні платіжні зобов’язання. Закон однієї ціни. Прибуток від портфеля. Похідні цінні папери. Платіжні зобов’язання - множина безарбітражних цін. Структура множини безарбітражних цін для досяжних і недосяжних платіжних зобов’язань. Ринки з нескінченною кількістю активів.


Теорема про розмірність простору . Друга основна теорема фінансової математики. Повні ринки. Геометрична інтерпретація безарбітражності ринку. Ефект кратності опціонів. Ринки з випадковими початковими даними.

Відношення переваги: аксіоми. Числове представлення відношення переваги. Числове представлення фон Неймана-Моргенштерна. Парадокс Аллєса. Контрприклад: числове представлення фон Неймана-Моргенштерна може не існувати. Несхильність фінансового агента до ризику. Твердий еквівалент відношення переваги. Санкт-Петербурзький парадокс. Максимальні переваги. Коли інвестувати в акцію? Страхування збитків. Коеффіцієнти Арроу-Пратта абсолютної несхильності до ризику. Приклади. Співвідношення між коефіцієнтами Арроу-Пратта та поведінкою функцій корисності. Стратегія фінансового агента як функція початкового капіталу. Негативні аспекти функції корисності. Повторення однакових ігор або лотерей. Асимптотична поведінка числових характеристик серії ігор.


Оптимізація портфеля за допомогою функції корисності. Постановка задачі. Поняття і властивості незвідного ринка. Основна теорема про існування точки максимума в задачі оптимізації портфеля. Теорема про властивості максимізатора у випадку диференційованої функції корисності. Наслідок: побудова міри, нейтральної до ризику. Експоненціальні сім’ї мір. Барицентри експоненціальні сім’ї мір. Ентропія та відносна ентропія. Приклади. Теорема про мінімізацію відносної ентропії. Наслідки. Перетворення Есшера.
Оптимальні платіжні зобов’язання. Розв’язок задачі оптимізації у просторі . Приклад: експоненціальна функція корисності. Розв’язок задачі оптимізації в класі . Знаходження максимізатора в задачі з обмеженнями. Два приклади. Загальна теорема про існування розв’язку задачі максимізації з обмеженнями.
Мікроекономічна рівновага. Постановка задачі. Два приклади. Відшукання положення рівноваги Арроу-Дебрю за обмежень на простір . Два приклади “Бернуллі проти Крамера”. Загальна теорема.
Динамічна теорія фінансових ринків. Структура фінансового ринку, ринку з багатьма періодами. Дисконтований капітал. Умова самофінансованості в терсінах дисконтованого капіталу. Структура самофінансованої стратегії. Безарбітражні ринки в динамічній постановці. Мартингальні міри та їх зв’язок з арбітражними можливостями. Основна теорема фінансової математики для багатоперіодичних моделей. Європейські платіжні зобов’язання. Досяжні Європейські платіжні зобов’язання. Справедливі ціни дисконтованих платіжних зобов’язань. Два приклади. Повні ринки. Біноміальна модель. Оцінювання і хеджування. платіжних зобов’язань в рамках біноміальної моделі. Збіжність дискретної ціни платіжного зобов’язання до ціни Блека-Шоулса. Справедлива ціна Блека-Шоулса.
Американські платіжні зобов’язання на дискретному ринку. Розклад Дуба-Мейєра процесів з дискретним часом. Теорема Дуба про вільний вибір. Хеджування Американських платіжних зобов’язань з точки зору покупця. Мінімальні та максимальні моменти зупинки. Порівняння Американських та Європейських платіжних зобов’язань. Опціони купівлі та продажу.
Квадратично-оптимальне хеджування. Локально-квадратичний ризик. Побудова стратегії, що мінімізує локальний ризик. Випадок . Умова обмеженості середньо-дисперсного відношення. Зв’язок локально мінімізуючих ризик стратегій з розкладом платіжного зобов’язання. Розклад Куніта- Ватанабе. Мінімальні мартингальні міри. Теорема про представлення капіталу. Експонента Долеан. Характеризація мінімальної мартингальної міри.


ЛІТЕРАТУРА


  1. Follmer H., Schied A., Stochastic finance. An introduction to discrete time. Walter de Gruyter Studies in Mathematics, 27, 2004.

  2. Мельников А. В.. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг, ТВП, М., 1997.

  3. Леоненко М. М., Мишура Ю. С., Пархоменко В. М., Ядренко М. Й.. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. К., 1995.

  4. Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2, Фазис, М., 1998.

  5. Karatzas I., Shreve S. E.. Methods of Mathematical Finance. Springer, 1998.

  6. Гусак Д.В., Кулик О.М., Мішура Ю.С., Пилипенко А.Ю. Збірник задач з теорії випадкових процесів та її застосувань у фінансовій математиці та теорії ризику. ВПЦ «Київський університет», 2008 р.

  7. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Математика фінансів. ВПЦ «Київський університет»,

2011 р.

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА І КОМБІНАТОРНИЙ АНАЛІЗ
Числення висловлювань.

19 рівносильностей для булевих операцій.

Закон двоїстості.

Лема про розклад за змінною.

Досконала диз’юнктивна то кон’юнктивна нормальні форми. Теореми про існування і єдиність. Існування ДНФ і КНФ.

Повні системи логічних функцій. Власні повні класи булевих функцій.

Критерій Поста про повноту системи логічних функцій.

Кількість елементів у декартовому добутку множин. Число всіх відображень.

Число всіх підмножин.

Бінарні відношення. Класи еквівалентності.

Число k-елементних підмножин n-елементної множини. Властивості біноміальних коефіцієнтів. Геометрична інтерпретація біноміальних коефіцієнтів.

Розміщення із n по k.

Біном Ньютона. Трикутник Паскаля

Мала теорема Ферма.

Теорема Ямамото про шпернерові сімейства.

Перестановки з повтореннями. Комбінації з повтореннями.

Модель Максвела-Больцмана. Модель Бозе-Ейнштейна.

Поліноміальна теорема.

Формула включення і виключення. Приклади застосування формули включення і виключення в теорії чисел.

Функція Ойлера.

Функція Мебіуса.

Принцип обертання Дедекінда-Ліувілля.

Теорема про число сюр’єктивних відображень.

Нерівності Чебишева для сум (формули підсумовування).

Формули обертання для біноміальних коефіцієнтів.

Приклади обчислення сум рядів.

Співвідношення Вандермонда.

Співвідношення Нерлунда.

Композиція послідовностей. Експоненційна композиція послідовностей.

Генератриси і формули обертання.

Формула Біне.

Числа Каталана.

Різницевий оператор. Антирізницевий оператор. Різницеві рівняння.

Числа Стірлінга І та ІІ роду. Рекурентна формула чисел Стірлінга. Ортогональність чисел Стерлінга. Явна формулу чисел Стірлінга ІІ роду.

Формула Добінського. Експоненційні генератриси чисел Стірлінга.

Експоненційна генератриса чисел Бела.

Експоненційна генератриса многочленів Апеля.

Числа Бернуллі. Многочлени Бернуллі. Теорема про різницевий оператор від многочлена Бернуллі. Сума степенів чисел натурального ряду.

Комбінаторика в теорії груп підстановок.

Графи. Лема про рукостискання. Пряма сума зв’язних графів.

Оцінка числа ребер з k компонентами зв’язності.

Ойлерові графи.

Гамільтонові графи.

Теорема Оре.

Дерева. Теорема Келі.
ЛІТЕРАТУРА
а) основна


  1. Ядренко М.Й. Дискретна математика. – К.: Експресс, 2003.

  2. Ямненко Р.Є. Дискретна математика. – К.: Четверта хвиля, 2010.

  3. Дрозд Ю.А. Дискретна математика. – К.: 2004.

  4. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика теория, задачи, приложения. – М.: Вузовская книга, 2000.

б) додаткова

  1. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. – М.: Наука, 1982.

  2. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. – М.: Мир, 1998.

  3. Deistel R. Graph theory. Springher, 2000.

  4. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. – М.: ИЛ, 1963.

  5. Уилсон Р. Введение в теорию графов.  – М.: Мир, 1977.

  6. Оре О. Теория графов. – М.: Мир, 1965.

  7. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.

  8. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1982.

  9. Холл М. Комбинаторика. Пер. с англ. – М.: Мир, 1970.

  10. Grimaldi R.P. Discrete and combinatorial mathematics. Addison-Wesley, 1994.

  11. Biggs N. Discrete Mathematics. – Oxford Science Publications, 1990.

  12. Matson A.F. Discrete Mathematics with applications.  – John Wiley and Sons Inc., 1993.

  13. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. –– М.:Наука, 1977.

  14. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. – М.: Мир, 1984.

  15. Ядренко М.Й. Принцип Діріхле та його застосування. – К.: "Вища школа", 1985.


МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ПРОЦЕСІВ РИЗИКУ
Основні поняття теорії ймовірностей. Стохастичні ситуації та їх математичні моделі.

Випадкові величини та їх розподіли.

Основні типи розподілів величин індивідуальних позовів та їх кількості.

Генератриси.

Випадкові вектори.

Умовні розподіли та щільності.

Умовне математичне сподівання.

Суміші розподілів.

Статистичне оцінювання параметрів розподілу. Метод моментів. Метод максимальної вірогідності. Метод квантилів.

Модель колективного ризику. Розподіл сумарної величини виплат за портфелем та його характеристики. Складний пуассонівський, біноміальний, від’ємно біноміальний розподіли.

Модель індивідуального ризику.

Пропорційне перестрахування, перестрахування ексцеденту збитку та збитковості.

Системи знижок за відсутність позовів. Ланцюги Маркова з дискретним часом і скінченною кількістю станів. Рівняння Колмогорова-Чепмена. Ергодична теорема.

Аналіз стаціонарного стану. Єдиність, час перебування.

Вплив систем бонус-малус на схильність до позовів.

Елементи статистичної теорії прийняття рішень.

Баєсівський ризик та баєсівські рішення.

Процедури прийняття рішень в умовах невизначеності.

Задачі зі спостереженнями.

Баєсівські вирішувальні функції.

Спряжені сімейства розподілів.

Баєсівська премія.

Оцінювання параметрів. Функції втрат.

Теорія довіри.

Модель Бюллмана-Штрауба.
ЛІТЕРАТУРА


  1. Зінченко Н.М. Математичні методи в теорії ризику. – К.: ВПЦ ''Київський університет'', 2008

  2. Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика. – К.: ВПЦ ''Київський університет'', 2008.

  3. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. І: Основные понятия теории вероятности и математической статистики. – М.: МЦНМО, 2007.

  4. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970.

  5. Королёв В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учебн. пособ. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

  6. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.

  7. Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Лекції з теорії вибору та прийняття рішень. – К.: ВПЦ ``Київський університет'', 2007.

  8. Фалин Г.И., Фалин А.И. Теория риска для актуариев в задачах. – М.: Мир, Научный мир, 2004.


АКТУАРНА МАТЕМАТИКА
Основні поняття актуарної математики. Галузі, форми і види страхування.

Математика складних відсотків. Фактичні і номінальні відсоткові ставки. Коефіцієнти нарощення та дисконтування. Ренти. Класифікація рент.

Схеми повернення кредитів. Внутрішня норма прибутку.

Тривалість майбутнього життя індивіда. Математична модель. Обмежена тривалість подальшого життя. Сила смертності. Таблиці тривалості життя. Ймовірність смерті для дробових частин року. Оцінювання сили смертності.

Елементарні типи страхування життя. Загальні типи страхування життя.

Стандартні типи змінних страхувань. Елементарні типи ануїтетів. Чисте дожиття, довічний та відстрочений довічний ануїтети: разові нетто-премії. Співвідношення між звичайними та авансовими довічними ануїтетами.

Дробові ануїтети. Змінні ануїтети. Виплати, що починаються з дробового віку.

Елементарні типи страхування життя з виплатами в момент смерті: разові нетто-премії. Стандартні типи змінних страхувань життя. Співвідношення між змінними страхуваннями та змінними ануїтетами. Принцип еквівалентності. Дробові нетто-премії. Нетто-премії для елементарних видів страхувань. Поліси з поверненням премій.

Перспективний та ретроспективний методи розрахунку резерву нетто-премій. Рекурентні співвідношення для резервів нетто-премій. Премія ризику та премія заощаджень. Ризик виживання.

Резерви для полісів з дробовими преміями, резерви нетто-премій в неперервних моделях. Резерви нетто-премій при дробових строках.

Розподіл загальних збитків за роками полісу. Конверсія страхування.

Технічний прибуток. Неперервна модель.

Кратні декременти. Резерви у випадку кратних декрементів.

Страхування життя групи осіб. Стан сумісного (спільного) життя. Стан виживання останнього. Загальні симетричні стани. Стан сумісного життя і комутаційні функції.

Формула-Шуетта-Несбіта. Асиметричні ануїтети і страхування. Реверсивні ануїтети.

Загальна сума вимог виплат у портфелі. Нормальна апроксимація.

Складний пуассонівський розподіл. Перестрахування.

Навантаження на витрати. Премія, навантажена на витрати. Резерви навантажених на витрати премій.

Оціночні ймовірності смерті. Кратні декременти.

Комутаційні функції. Оцінювання ймовірності смерті.


ЛІТЕРАТУРА


  1. Гербер Х. Математика страхования жизни. – М.: Мир, 1995.

  2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статичтині методи в економетриці та фінансовій математиці. – К., 1995.

  3. Пономаренко О.І. Основи математики фінансів і страхування. – Київ, 2004.

  4. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М., 1994.

  5. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М., 1994.

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗ
Перетворення Фур’є та його властивості.

Багаторівневий аналіз.

Система Хаара.

Вейвлети Шенона. Вейвлети Мейєра.

Базиси Рісса.

Побудова f-вейвлетів.

Побудова m-вейвлетів.

Розклад випадкових процесів по системам вейвлетів.


ЛІТЕРАТУРА


  1. Ю.В.Козаченко. Лекції з вейвлет аналізу. ТВiМС, Київ, 2004.

  2. B.Vidacovic, Statistical Modeling by Wavelets. John Wiley and sons, New York, 1999.

  3. К.Чуи, Введение в вейвлеты., Мир, 2001.

  4. И.Добеши, Десять лекцій по вейвлетам, РХД, Москва-Ижевск, 2001.

  5. D.Persival, A.Walden, Wavelet Methods for Time Series Analysis, Cambridge Univ.Press, 1999.

ПОБУДОВА ТАБЛИЦЬ ТРИВАЛОСТІ ЖИТТЯ
Тривалість майбутнього життя індивіда. Інтенсивність смертності.

Таблиці тривалості життя.

Ймовірність смерті для дробових частин року.

Математична демографія. Діаграми Лексиса.

Неперервна демографічна модель.

Оцінювання сили смертності.

Комутаційні функції. Оцінювання ймовірності смерті.

Елементарні типи страхування життя. Загальні типи страхування життя.

Стандартні типи змінних страхувань. Елементарні типи ануїтетів. Чисте дожиття, довічний та відстрочений довічний ануїтети: разові нетто-премії.

Дробові ануїтети. Змінні ануїтети. Виплати, що починаються з дробового віку.

Елементарні типи страхування життя з виплатами в момент смерті: разові нетто-премії. Стандартні типи змінних страхувань життя. Співвідношення між змінними страхуваннями та змінними ануїтетами. Принцип еквівалентності. Дробові нетто-премії. Нетто-премії для елементарних видів страхувань. Поліси з поверненням премій.

Рекурентні співвідношення для резервів нетто-премій. Премія ризику та премія заощаджень. Ризик виживання.

Резерви для полісів з дробовими преміями, резерви нетто-премій в неперервних моделях. Резерви нетто-премій при дробових строках.

Розподіл загальних збитків за роками полісу. Конверсія страхування.

Технічний прибуток. Неперервна модель.

Кратні декременти. Резерви у випадку кратних декрементів.

Страхування життя групи осіб. Стан сумісного (спільного) життя. Стан виживання останнього. Загальні симетричні стани. Стан сумісного життя і комутаційні функції.

Формула-Шуетта-Несбіта. Асиметричні ануїтети і страхування. Реверсивні ануїтети.

Загальна сума вимог виплат у портфелі. Нормальна апроксимація.

Складний пуассонівський розподіл. Перестрахування.

Навантаження на витрати. Премія, навантажена на витрати. Резерви навантажених на витрати премій.

Кратні декременти. Оціночні ймовірності смерті.

Застосування теорії ризику. Перестрахування.

Пуассонівський потік вимог та його властивості. Перевірка гіпотези про те, що потік вимог – пуассонівський. Моделі страхування при пуассонівському потоці вимог.

Дисконтування. Обчилення ціни страхового поліса у випадках простих і складних відсотків. Гауссівське наближення.
ЛІТЕРАТУРА


  1. Гербер Х. Математика страхования жизни. – М.: Мир, 1995.

  2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статичтині методи в економетриці та фінансовій математиці. – К., 1995.

  3. Пономаренко О.І. Основи математики фінансів і страхування. – Київ, 2004.

  4. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М., 1994.

  5. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М., 1994.

  6. H.Buhlmann. Mathematical methods in risk theory. Springer Verlag, (1970)

  7. Risk Theory: Unpublished notes and exercises by H. Schmidli.

  8. T.Rolski, H.Schmidli, V.Schmidt J.Teugel. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons, Chichester , (1990)


РОЗРАХУНКИ У ПЕРЕСТРАХУВАННІ
Простір елементарних подій. -алгебра випадкових подій. Ймовірність.

Ймовірнісний простір. Випадкові величини. Функція розподілу і щільність випадкової величини, їх властивості.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини.

Сумісний розподіл та сумісна щільність двох випадкових величин.

Умовні щільності. Умовні математичні сподівання.

Потоки -алгебр. Мартингал, субмартингал, супермартингал. Марківські моменти. Мартингальні нерівності.

Механізм страхування. Ризики. Функції корисності та їх властивості. Принципи вибору страхових внесків.

Розподіли, придатні для опису кількості вимог на виплату, що надходять до страхової компанії; їх характеристичні функції, моменти, дисперсії.

Розподіли, придатні для опису величини вимог, що надходять до страхової компанії; їх характеристичні функції, моменти, дисперсії.

Пропорційне перестрахування.

Перестрахування ексцеденту збитку.

Перестрахування ексцеденту збитковості.

Процес ризику в класичній моделі. Ймовірність банкрутства страхової компанії в класичній моделі ризику. Асимптотична поведінка ймовірності банкрутства.

Оцінювання ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику. Нерівність Крамера-Лундберга, коефіцієнт Лундберга.

Звичайний та стаціонарний процеси відновлення. Ймовірність банкрутства в звичайному процесі відновлення.

Ймовірність банкрутства в стаціонарному процесі відновлення. Порівняння класичної моделі ризику і моделі з процесом відновлення.

Змішаний пуассонівський процес. Моделювання флуктуацій портфелю за допомогою неоднорідного пуассонівського процесу. Випадкові процеси Кокса.

Апроксимація Беекмана-Боверса. Апроксимація Де Вільдера. Дифузійна апроксимація для процесів ризику. Порівняння різних апроксимацій для ймовірностей банкрутства. Статистичні оцінки коефіцієнта Крамера-Лундберга.


ЛІТЕРАТУРА
а) основна:

  1. Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. – Донецк: АПЕКС, 2002. – 116 с.

  2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995. – 380 с.

  3. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. перер. и доп. - К.: Вища школа, 1988.

  4. Карташов М. В. Теорія ймовірностей та математична статистика, Київ, ТВіМС, 2004.

б) додаткова:

  1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. - М.:Мир, 1984.

  2. H.Buhlmann. Mathematical methods in risk theory. Springer Verlag, (1970)

  3. Risk Theory: Unpublished notes and exercises by H. Schmidli.

  4. T.Rolski, H.Schmidli, V.Schmidt J.Teugel. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons, Chichester , (1990)


СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ У РИЗИКОВОМУ СТРАХУВАННІ
Основні поняття теорії ймовірностей. Стохастичні ситуації та їх математичні моделі.

Випадкові величини та їх розподіли.

Основні типи розподілів величин індивідуальних позовів та їх кількості.

Генератриси.

Випадкові вектори.

Умовні розподіли та щільності.

Умовне математичне сподівання.

Суміші розподілів.

Статистичне оцінювання параметрів розподілу. Метод моментів. Метод максимальної вірогідності. Метод квантилів.

Модель колективного ризику. Розподіл сумарної величини виплат за портфелем та його характеристики. Складний пуассонівський, біноміальний, від’ємно біноміальний розподіли.

Модель індивідуального ризику.

Пропорційне перестрахування, перестрахування ексцеденту збитку та збитковості.

Системи знижок за відсутність позовів. Ланцюги Маркова з дискретним часом і скінченною кількістю станів. Рівняння Колмогорова-Чепмена. Ергодична теорема.

Аналіз стаціонарного стану. Єдиність, час перебування.

Вплив систем бонус-малус на схильність до позовів.

Елементи статистичної теорії прийняття рішень. Процедури прийняття рішень в умовах невизначеності.

Баєсівський ризик та баєсівські рішення.

Задачі зі спостереженнями. Баєсівські вирішувальні функції.

Спряжені сімейства розподілів.

Баєсівська премія.

Оцінювання параметрів. Функції втрат.

Теорія довіри. Довірча оцінка за квадратичних втрат.

Модель Бюллмана-Штрауба.

Емпірична довірча оцінка.

Довіра для частоти позовів. Довіра для величини позовів.

Теорія довіри у випадку великих вимог.

Ієрархічні моделі довіри.

Основні положення теорії класифікації.

Аналізу даних типу “трикутника із запізненням (або випередженням)” та проектування кінцевих станів. Метод ланцюгових сходів. Метод Борнхуеттера-Фергюсона.

Узагальнена лінійна модель. Множинна лінійна регресійна модель та нормальна лінійна модель. Експоненційний клас розподілів.

Часові ряди. Стаціонарні часові ряди. Часові ряди типу авторегресії , ковзного середнього, авторегресії інтегрованого рухомого середнього. Випадкові блукання.

Ідентифікація та оцінювання параметрів часових рядів.

Моделювання методом Монте-Карло з використанням послідовностей псевдовипадкових чисел.
ЛІТЕРАТУРА
а) основна:


  1. Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. – Донецк: АПЕКС, 2002. – 116 с.

  2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995. – 380 с.

  3. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. перер. и доп. - К.: Вища школа, 1988.

  4. Карташов М. В. Теорія ймовірностей та математична статистика, Київ, ТВіМС, 2004.

б) додаткова:

  1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. - М.:Мир, 1984.

  2. H.Buhlmann. Mathematical methods in risk theory. Springer Verlag, (1970)

  3. Risk Theory: Unpublished notes and exercises by H. Schmidli.

  4. T.Rolski, H.Schmidli, V.Schmidt J.Teugel. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons, Chichester , (1990)


РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ
Задачі, що розглядає регресійний аналіз. Розділи регресійного аналізу – лінійна, нелінійна та непараметрична регресія.

Розділи лінійної регресії – проста регресія, багатозначна регресія, дисперсійний аналіз (ANOVA), багатозначний дисперсійний аналіз (MANOVA), коваріаційний аналіз (ANOCVA). Види регресії – звичайна (модель повного рангу), гетероскедастична, гомоскедастична, мультиколінеарна.

Оцінки найменших квадратів та їх геометричний зміст. Теорема Гауса-Маркова. Випадок нормальних даних. Зважений МНК, узагальнений МНК.

Мультиколінеарність, проблеми, що про цьому виникають. Строга та нестрога мультиколінеарність. Способи відшукання оцінок МНК в мультиколінеарних моделях – приведення до моделі повного рангу, введення ідентифікуючих обмежень, обчислення узагальненої оберненої матриці. Властивості УОМ, функції що допускають оцінку. Теорема про характеризацію функцій, що допускають оцінки.

Регресія на головні компоненти. Власні вектори кореляційної матриці, головні напрямки.

Гребенева (рідж) регресія, два способи побудови рідж оцінок. Порівняння дисперсій гребеневих та звичайних оцінок.

Оцінювання за лінійних обмежень.

Перевірка гіпотез в регресійному аналізі, загальна лінійна гіпотеза, F-статистика та її розподіл. Обчислення F-статистики в різних моделях. Стандартна гіпотеза, коефіцієнт детермінації. F-статистика для моделей з неповним рангом. T-тести.

Стійкість F-статистики до нормальності даних.

Коваріаційний аналіз. Перевірка гіпотез про взаємне положення ліній регресії.

Оптимальний вибір множини регресорів. PRESS, відбір на основі тесту.

Логістична регресія, багатозначна логістична регресія.

Нелінійна регресія. Приклади нелінійних моделей. Оцінка параметрів в нелінійних моделях. МНК для нелінійних моделей. Проблеми з обчисленням МНК в нелінійних моделях. Наближені методи обчислення МНК.

Перевірка статистичних гіпотез в нелінійних моделях.

Непараметрична регресія. Задачі, що розглядає непараметрична регресія. Способи побудови оцінок. Поняття згладжування.
ЛІТЕРАТУРА
а) основна:


  1. Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

  2. Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

  3. Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет», 2007.- 296 с.

  4. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ.- М.: Мир, 1980.-456с.

  5. Xin Yan, Xiao Gang Su Linear Regression Analysis. Theory and Computing. - World Scientific, 2009. - 349 p.

  6. Seber G., Wild C. Nonlinear Regression, John Wiley & Sons. Inc., 2003. - 781 p.

  7. Takezawa K. Introduction to Nonparametric Regression. - John Wiley & Sons. Inc., 2005. - 557 p.

  8. László Györfi, Michael Kohler, Adam Krzyzak, Harro Walk A Distribution-free Theory of Nonparametric Regression. - Springer, 2010. - 664 p.

  9. Wolfgang Härdle, Applied Nonparametric Regression, 1992. - 433 p.

б) додаткова:

  1. Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

ФІНАНСОВА МАТЕМАТИКА
Випадкова ціна активу. Безризикові та ризикові активи. Одноперіодна модель ринку зі скінченним числом активів. Портфель інвестора. Капітал інвестора. Арбітражна можливість фінансового ринку.

Міра, нейтральна до ризику. Еквівалентність відсутності арбітражу і існування міри, нейтральної до ризику.

Платіжне зобов’язання. Опціони, пут-колл паритет. Закон однієї ціни.

Справедливі ціни. Структура множини справедливих цін.

Обчислення умовного прибутку.

Досяжні платіжні зобов’язання. Повнота ринку.

Фінансові ринки зі зліченним числом активів.

Приклад безарбітражного і повного ринку. Ефект кратності опціонів.

Фінансові ринки з випадковими початковими даними.

Динамічна теорія арбітражу.

Біноміальна модель. Граничний перехід. Формула Блека–Шоулса.

Американські платіжні зобов’язання. Стратегії покупця і продавця.

Обчислення справедливих цін Американських опціонів.

Мінімізація локального квадратичного ризику.

Розклад платіжного зобов’язання.

Мінімальні мартингальні міри.

Квадратично-оптимальне хеджування.

Відношення переваги. Числове зображення.

Числове зображення фон Неймана-Моргенштерна.

Аксіоми незалежності і Архімеда. Парадокс Аллєса.

Функція корисності. Коефіцієнт Арроу-Пратта.

Властивості функцій корисності. Приклади.

Повторні ігри. Асимптотична поведінка числових коефіцієнтів.

Максимізація портфеля інвестора.

Експоненціальна сім’я і розподіли, які вона породжує.

Відносна ентропія. Перетворення Есшера.

Максимізація платіжного зобов’язання.

Мікроекономічна рівновага.


ЛІТЕРАТУРА
а) основна:

    1. Mc Cutheon J.J., Scott W.F. An introduction to the mathematics of finance. - Oxford: Heineman, 1986.

    2. Пономаренко О.І. Фінансовий аналіз. Частина 1. Фінансова математика банківського сектора. - К.: ЕМЦ, 1999.

    3. Antony M., Biggs N. Mathematics for economics and finance. - Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

б) додаткова:

    1. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. Изд. 2-е перер. и доп. - М.: Тривола, 1995.

    2. Hull J.C. Options, Futures and other Derivatives, 2nd ed. - Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NI, 1993.

КОМП’ЮТЕРНА СТАТИСТИКА
Поняття статистичної оцінки. Характеристики якості оцінки.

Поняття тесту для перевірки статистичних оцінок. Його характеристики якості.

Основні дескриптивні статистики середнього положення та розкиду.

Тест χ2 у загальному випадку.

Тест χ2 для простих гіпотез і для перевірки узгодженості.

Перевірка гіпотези про незалежність за допомогою тесту χ2.

Метод найменших квадратів у регресійному аналізі.

Довірчі інтервали для коефіцієнтів лінійної гауссової регресії, їх застосування для перевірки гіпотез.

Тест Фішера. Використання тесту Фішера для перевірки розшарованості вибірки.

Тести для перевірки однорідності середніх у однофакторному дисперсійному аналізі.

Тести для перевірки однорідності дисперсій у однофакторному дисперсійному аналізі.

Коефіцієнт кореляції Пірсона.

Коефіцієнт кореляції Спірмена.

Графічні засоби аналізу розподілу: гістограми, Q-Q діаграми.

Баєсів та емпірично баєсів класифікатори.
ЛІТЕРАТУРА
а) основна:


  1. Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

  2. Майборода Р.Є. Комп’ютерна статистика.-К.:ВПЦ «Київський університет», 2002.- 57с.

б) додаткова:

  1. Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

  2. Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет», 2007.- 296 с.

  3. Я.К.Шмидский. Mathematica 5. Самоучитель.-М.:Издательский дом «Вильямс», 2004. – 529 с.

ФІНАНСОВИЙ АНАЛІЗ
Основні принципи фінансів – категорії фінансів, розділи фінансової науки.

Історія фінансових відносин.

Бізнесові одиниці (фізична, юридична особа). Види юридичних осіб.

Товариство з обмеженою відповідальністю.

Акціонерні товариства (відкритого та закритого типів).

Холдинги, групи компаній, консорціуми, концерни.

Корпорації, публічні компанії.

Податки – основні поняття та функції.

Історія виникнення податків.

Особливості оподаткування в Україні.

Фінансові інструменти – загальна характеристика, та огляд фінансових інструментів.

Акції.


Облігації.

Деривативи.

Випуск цінних паперів.

Первинна публічна пропозиції (IPO).

Фінансова звітність – основні принципи.

Класифікація фінансової звітності.

Форми фінансової звітності.

Організація бухгалтерських рахунків.

Подвійний запис, прості та складні бухгалтерські проводки

Види бухгалтерських балансів.

Облікові принципи.

Амортизація.

Балансовий звіт.

Рахунок прибутків та збитків

Звіт про рух грошей

Капітал та резерви

Звіт про зміни у капіталі

Об'єднання підприємств у групи. Поглинання підприємства.

Консолідована фінансова звітність.

Вартість капіталу підприємства.

Міри ризику. Волатильність, бета-коефіцієнт.

Оцінка капітального проекту.

Чиста сучасна вартість та внутрішня норма прибутку, як методи оцінювання проектів.

Методи оцінки проекту не пов'язані с ЧСВ та ВНП.

Аналіз та управління ризиками.

Покриття прибутком (активами) та пріоритетні процентилі з прибутків (активів).

Важелі активів та капіталу.

Міри які пов'язані з акціонерним капіталом.

Коефіцієнти рентабельності.

Коефіцієнти ліквідності.

Коефіцієнти ефективності.
ЛІТЕРАТУРА
а) основна:


  1. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М.. Фінансова математика.-

  2. Борисенко О.Д., Мішура Ю.С. Радченко В.М., Шевченко Г.М. Збірник задач з фінансової математики.-

  3. Швець. Основи бухгалетрського обліку.- Львів: ЗУІВЦНК, 2005. - 240 с.

б) додаткова:

  1. Лучко М. Р., Бенько І. Д. Бухгалтерський облік у зарубіжних країнах - Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 205 с.

ЧАСОВІ РЯДИ
Часові ряди та їх приклади

Основні поняття теорії часових рядів. Задачі аналізу часових рядів

Тренди та їх різновиди. Визначення трендів методами регресійного аналізу

Злагоджування часових рядів та його властивості рухомі середні.

Теорія цинічних трендів

Застосування серіальних кореляцій до часових рядів

Узагальнення часових рядів. Ряди просторової та просторово-часової динаміки. Їх експрес-аналіз.

Лінійні стохастичні моделі часових рядів. Моделі МА(q) та AR(p).

Модель авто регресії та рухомого середнього ARMA(p,q)

Модель ARIMA (p,d,q) та її застосуванння.

Загальні стаціонарні та спорідненні їм моделі часових рядів. Білінійні моделі. BL(p,d,q,n,m).

Моделі динаміки ринкових цін. (Гаусові, умовно-гаусові, біноміальні, з дискретним втручанням випадку, тощо).

Нелінійні стохастичні умовно-гаусові моделі фінансових часових рядів.

Моделі ARCH та GARCH.

Моделі Е GARCH, Т GARCH, Н ARCH.

Моделі стохастичної волатильності.


ЛІТЕРАТУРА
1. Кендэл М. Временные ряды.- М.: «Финансы и статистика» 1981.

2. Андерсон Т.Статистический аналыз временных рядов.- М.: Изд. «Мир», 1976.

3. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці.- К.: Інформтехніка, 1995.

4. Пономаренко О.І Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі.- К.: «Либідь», 1995.

5.Пономаренко О.І. Методи й моделі сучасних фінансів.- Н.:Вид.Лисенко, 2011.
ДОДАТКОВІ РОЗДІЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Ймовірнісний простір на множині послідовностей Rn

Ймовірнісний простір на множині послідовностей R

Випадкові величини та елементи. Породжені розподіли та сигма-алгебри, теорема про вимірність відносно породженої сигма-алгебри

Незалежні системи випадкових подій та їх перетворення

Незалежні системи випадкових векторів та їх перетворення

Закон нуля та одиниці Колмогоpова. Приклади та наслідки

Закон нуля та одиниці Хьюитта-Севіджа для переставних величин

Рівномірна інтегровність, її властивості

Граничний перехід для рівномірно інтегровних послідовностей

Умовне математичне сподівання для скінчених сигма-алгебр

Загальне визначення умовного математичного сподівання. Існування та єдиність

Властивості умовного математичного сподівання як оператора від величин

Властивості умовного математичного сподівання в залежності від умови

Екстремальна властивість та перехід до границі під знаком умовного сподівання

Умовне математичне сподівання відносно систем випадкових величин. Властивості. Функція регресії

Обчислення функції регресії через сумісну щільність. Нормальна регресія на площині

Умовні ймовірності, властивості. Регулярні умовні ймовірності

Існування регулярних умовних розподілів

Нерівності Колмогорова

Теореми Колмогорова про один та два ряди, лема про фундаментальность м.н.

Теорема Колмогорова про три ряди. Наслідок про посилений закон великих чисел

Закон повторного логарифму

Строго стацінарні послідовності. Лема про перетворення. Теорема Гарсіа

Теорема Біркгофа-Хінчина та ергодична теорема для стаціонарних послідовностей

Формула обертання для характеристичних функцій, розклад логарифму характеристичної функції

Метод характеристичних функцій для уточнення центральної граничної теореми. Розклад Еджворта

Співвідношення метрик для функцій розподілу та характеристичних функцій

Теорема Бері-Есеєна

Цілочисельне блукання на прямій. Решітковість, моменти досягнення

Загальний критерій рекурентності блукання. Блукання Бернуллі

Критерій рекурентності через характеристичну функцію стрибка

Критерій рекурентності при скінченому середньому

Нескінчено подільні розподіли та канонічні міри.

Теорема Леві-Хінчина


ЛІТЕРАТУРА


  1. М. В. Карташов. Теорія ймовірностей і математична статистика. К., ВПЦ “Київський університет”. 2009.- 479 c.

  2. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. К.,"Вища школа", 1988.

  3. Н.В. Карташов, Методичні вказівки до самостійних робіт з дисципліни “Додаткові розділи теорії ймовірностей”, Київ, КНУ, www.probability.univ.kiev.ua/met_dgu.pdf

  4. А.Я. Дороговцев, Д.С. Сiльвестров, А.В. Скороход, М.Й. Ядренко. Теорiя ймовiрностей. Збiрник задач. К., Вища школа.


ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Основні поняття та аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та їх властивості

Властивості ймовірностей, які випливають з аксіом

Класичне означення ймовірностей, дискретний ймовірнісний простір

Геометричне означення ймовірностей, задача про зустріч, парадокс Бертрана, задача Бюффона.

Умовні ймовірності, ймовірність перетину подій

Формули повної ймовірності та Байеса.

Незалежні випадкові події, їх перетворення, ймовірність перетину, приклад Бернштейна.

Дискретні випадкові величини, їх розподіл та основні властивості

Схема Бернуллі. Розподіли біноміальний, геометричний, гіпергеометричний та Пуассона.

Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа

Загальне означення випадкової величини та вектора, борелева сігма-алгебра, критерій вимірності.

Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега-Стілтьєса.

Щільність та її властивості, абсолютно неперервні, дискретні та сингулярні функції розподілу.

Обчислення ймовірностей для функції від випадкової величини.

Приклади абсолютно неперервних розподілів: показниковий, Вейбула, Коші, нормальний.

Математичне сподівання дискретної величини та його властивості

Загальне означення математичного сподівання для невід’ємних та знакозмінних величин та його коректність

Основні властивості математичного сподівання

Перехід до границі під знаком математичного сподівання.

Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки)

Обчислення математичного сподівання функції від випадкової величини через її функцію розподілу.

Дисперсія, її властивості та обчислення

Приклади обчислення дисперсії (дискретний та неперервний випадки).

Ймовірнісні нерівності (Чебишева, Йенсена, Ляпунова, Гельдера, Коші, Мінковського)

Випадкові вектори, сумісна функція розподілу та щільність, породжена міра Лебега-Стілтьєса

Розподіл функцій від випадкових векторів, їх числові характеристики, дисперсія лінійної форми та коваріація лінійного перетворення

Незалежні випадкові величини, критерій незалежності, перетворення незалежних величин

Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин

Функція розподілу та щільність суми незалежних величин.

Розподіли Ерланга, гама та хі-квадрат

Нормальні випадкові вектори, їх сумісна щільність та параметри, нормальні вектори на площині.

Лінійні перетворення нормальних векторів, незалежність та некорельованість.

Різні типи збіжності випадкових величин та співвідношення між ними

Збіжність за ймовірністю та її властивості.

Закон великих чисел, поліноми Бернштейна, метод Монте-Карло.

Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі

Нерівність Колмогорова.

Посилений закон великих чисел Колмогорова

Критерій Колмогорова посиленого закону великих чисел.

Збіжність в основному та її властивості

Слабка збіжність та її властивості

Співвідношення між збіжностями слабкою та в основному

Теорема Хелі про компактність в основному

Теорема Прохорова про критерій слабкої компактності

Характеристична функція випадкової величини та її властивості

Теорема Леві про збіжність функцій розподілу та їх характеристичних функцій.

Класична центральна гранична теорема

Загальна гранична теорема для стандартних послідовностей

Теореми Ліндеберга і Ляпунова для стандартних послідовностей

Теореми Ліндеберга і Ляпунова для загальних послідовностей

Центральна гранична теорема для випадкових векторів.

Процес Пуассона та його розподiл

Властивостi траекторiй процесу Пуассона

Вiнерiвський процес та його розподiл

Властивостi траекторiй Вiнерiвського процесу


ЛІТЕРАТУРА


  1. М. В. Карташов. Теорія ймовірностей і математична статистика. К., ВПЦ "Київський університет". 2009.

  2. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. К.,"Вища школа", 1988.

  3. "Теорія ймовірностей", Методичні вказівки до лабораторних та самостійних робіт / Упорядники: О.І.Василик, М.В.Карташов, Г.М.Шевченко, Р.Є.Ямненко - К., ВПЦ "Київський університет", 2008.

  4. А.Я. Дороговцев, Д.С. Сiльвестров, А.В. Скороход, М.Й. Ядренко. Теорiя ймовiрностей. Збiрник задач. К.:"Вища школа", 1976.


ПРОЦЕСИ МАРКОВА В АКТУАРНІЙ МАТЕМАТИЦІ
Ланцюги Маркова, Визначення та приклади

Скінченовимірні розподіли, рівняння Колмогоpова-Чепмена, розширена та строго марковська властивість

Досяжність, істотність, періодичність, класифікація станів

Рекурентність

Імовірності числа досігнень та відвідувань

Критерії рекурентності

Ергодичність у середньому

Позитивність та ланцюг народження і загибелі

Ергодичні теореми Дебліна та Колмогорова

Марковські процеси та перехідні оператори

Прямі рівняння Коломогорова

Обернені рівняння Коломогорова

Процеси з дискретною множиною станів

Процеси зі скінченою множиною станів

Існування та єдииність розв’язків обернених систем Колмогорова для стрибкоподібних процесів

Існування та єдииність розв’язків прямих систем Колмогорова для стрибкоподібних процесів

Стрибкоподібні дискретні процеси

Неоднорідні процеси Маркова

Строго Марковські процеси

Моменти перебування та вкладений ланцюг для стрибкоподібного процесу

Побудова стрибкоподібного процесу за інфінітезімальними характеристиками

Класифікація станів стрибкоподібних процесів

Неоднорідні процеси Пуассона та народження і загибелі

Марковські моделі полісів та класичний поліс

Приклади Марковських моделей страховх полісів

Грошові потоки у Марковській моделі

Функція витрат та резерв премій

Рівняння Тілі та функція ризиків

Обчислення та збурення резерву премій

Дискретні моделі

Дисперсія функції витрат

Теорема Хаттендорфа


ЛІТЕРАТУРА


  1. М. В. Карташов. Теорія імовірностей і математична статистика. К., ВПЦ “Київський університет”. 2009.

  2. М. В. Карташов, Процеси Маркова у актуарній математиці. К., ВПЦ “Київський університет”, 2008

СТОХАСТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Моменти зупинки та пов’язані з ними σ-алгебри.

Нерівності для мартингалів з неперервним часом.

Теорема Дуба-Мейєра для мартингалів з неперервним часом (формулювання, пояснення).

Квадратична варіація (передбачуваний випадок). Властивості.

Означення інтегралу простої функції за мартингалом. Властивості.

Означення інтегралу за мартингалом. Властивості.

Теорема про замикання простору простих функцій в L2().

Семі-мартингали. Означення та властивості інтегралу за семі-мартингалом.

Нерівність Куніта-Ватанабе.

Теорема про зображення мартингалу.

Квадратична варіація, загальний випадок.

Формула Іто (зображення І)

Теорема Леві.

Означення та властивості процесу Леві.

Випадкова пуассонівська міра, компенсатор.

Формула Іто (зображення ІІ).

Існування та єдність розв’язку стохастичного диференціального рівняння.

Теорема Гірсанова (формулювання, пояснення).


ЛІТЕРАТУРА

  1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка