Електромагнітні хвилі як наслідок рівнянь Максвелла



Сторінка1/4
Дата конвертації05.03.2017
Розмір0.59 Mb.
  1   2   3   4
Електромагнітні хвилі

Електромагнітні хвилі як наслідок рівнянь Максвелла

Взаємний зв’язок між електричним і магнітним полем, який встановлюється системою рівнянь Максвелла, робить можливим виникнення і розповсюдження в просторі електромагнітних хвиль. Властивості електромагнітних хвиль, зокрема, швидкість їх розповсюдження, були отримані Максвеллом з його теорії. Однак, теорія Максвелла не одержала після її створення широкого визнання. Занадто великою серед фізиків була інерція мислення, основана на добре вивчених до того часу постійних магнітних та електричних полях. Серед опонентів теорії Максвелла був і Генріх Герц. В 1887-1888 роках їм були поставлені експерименти з перевірки висновків теорії Максвелла – реальності існування електромагнітних хвиль. Досліди Герца підтвердили всі передбачення Максвелла. Герц не тільки підтвердив існування електромагнітних хвиль, але і вивчив їх відбиття, заломлення, інтерференцію і дифракцію. Після класичних експериментів Герца теорія Максвелла стала загальновизнаною.

Розглянемо виникнення електромагнітних хвиль спочатку якісно, спираючись на одну з основних ідей, закладених в рівняннях Максвелла: змінне електричне поле створює поле магнітне, яке, в свою чергу, змінюючись в часі, генерує електричне поле.



Нехай в необмеженому непровідному середовищі, наприклад, у вакуумі , існує електричне поле, яке змінюється в часі, але немає струмів провідності і об’ємного заряду, тобто тих чинників, які могли б підтримувати відповідно магнітне і електричне поле). Нехай в деякій точці О це поле має вектор напруженості , який перпендикулярний до осі і зменшується з часом. Тоді в точці О існуватиме струм зміщення, густина якого дорівнюватиме

,

направлений проти поля , оскільки (поле зменшується з часом).

Основною властивістю струму зміщення є створення вихрового магнітного поля , замкнуті силові лінії якого лежать в площині, перпендикулярній до вектору (на рисунку пложина ). На рисунку вони направлені за годинниковою стрілкою (за свердликом по відношенню до струму зміщення). Через те, що в середовищі немає постійних струмів, які б підтримували б вихрове магнітне поле , це поле зникатиме (зменшуватиметься), і його зміна спричинюватиме завдяки явищу електромагнітної індукції виникнення вихрового електричного поля. Силові лінії цього поля зображені контуром, означеному на рисунку пунктиром (і направлені проти годинникової стрілки). Це поле в точці О сприятиме зменшенню вектору , а в точці А – збільшуватиме його. Зникаючи в точці О вектор виникає в точці А. Тепер можна повторити міркування в точці А і т.д. Таким чином, у просторі у напрямку, перпендикулярному до початкового вектору , відбуватиметься переміщення змінного електричного поля, тобто вздовж осі бігтиме хвиля вектору напруженості електричного поля . Одночасно в площині, перпендикулярній вектору , виникатиме змінне магнітне поле , пов’язане з електричним, яке теж перпендикулярно напрямку розповсюдження хвилі. У просторі виникає електромагнітна хвиля.

Одержимо тепер цей же результат кількісно, спираючись на систему рівнянь Максвелла (будемо користуватися системою одиниць Гаусса). Нехай є середовище з постійними магнітною проникністю і діелектричною проникністю , але без струмів провідності , і без об’ємного заряду . Тоді система рівнянь Максвелла матиме вигляд



.

Візьмемо перше з рівнянь і продиференціюємо його за часом



.

Але з другого рівняння ми маємо



,

отже


.

З формул векторного аналізу маємо



,

з четвертого рівняння Максвелла



,

тоді


.

Нагадаю, що набла в квадраті – це оператор Лаласа (лаплас, лапласіан)



.

Диференціюючи за часом друге рівняння Максвелла та використовуючи перше і третє, аналогічно отримаємо



.

Ми отримали два однакових диференціальних рівняння другого порядку в частинних похідних для векторів напруженості електричного і магнітного полів і . Це так звані хвильові рівняння, які описують розповсюдження в просторі деякого процесу, що змінюється в часі.



Швидкість поширення електромагнітних хвиль

Для простоти розглянемо одновимірний випадок. Тоді для деякої фізичної величини хвильове рівняння має вигляд



,

де деяка фізична величина, яка має розмірність швидкості. Легко перевірити підстановкою, що розв’язком цього рівняння буде



.



На рисунку наведені графіки залежності функції від координати для двох різних моментів часу і . Характерна особливість цієї функції – максимум – у ці моменти часу займає положення відповідно і . Очевидно, що для однакових значень аргумента ( є параметром рівняння і не змінюється)

значення функції однакові, функція за час зміщується вздовж осі на відстань , тобто величина



є швидкістю цього зміщення.

У одновимірному випадку хвильове рівняння описує хвилю довільної форми, яка біжить зі швидкістю вздовж осі .

Вертаючись до трьохвимірних рівнянь для векторів і , можна зробити висновок, що наслідком рівнянь Максвелла є розповсюдження в просторі трьохвимірних хвиль для векторів і зі швидкістю



,

де швидкість світла у вакуумі. У вакуумі швидкість . Відмітьте це як першу властивість електромагнітних хвильелектромагнітна хвиля розповсюджується із скінченною швидкістю, яка визначається властивостями середовища. Властивостей буде сім, і додаткові питання про властивості електромагнітних хвиль будуть найпопулярнішіми на екзамені.

Зі шкільного курсу фізики відомо, що швидкість світла в середовищі дорівнює , де показник заломлення відносно вакууму. Таким чином, показник заломлення . Для більшості речовин , тому .

В системі СІ



.

Отже, швидкість світла становить



,

а показник заломлення



.

Пласкі електромагнітні хвилі

Властивості біжучих електромагнітних хвиль найпростіше розібрати на прикладі пласкої хвилі. Пласкими називаються хвилі, фронт яких являє собою нескінченну площину. Оскільки фронт довільної хвилі в окрузі будь-якої точки можна замінити площиною, дотичною до цього фронту, то результати, одержані нижче для пласкої хвилі, зберігають своє значення для будь-яких електромагнітних хвиль.

Задача буде найпростіша, одновимірна. Нехай пласка хвиля розповсюджується вздовж осі . Її фронт перпендикулярний до цієї осі. У площині фронту значення характеристик хвилі – вектори – залишаються сталими, вони не залежать від і , змінюючись в часі та в залежності від координати . Це означає, що частинні похідні по і по дорівнюють нулю. Будемо, як і раніше, вважати, що відсутні струми провідності і об’ємні заряди , середовище, в якому розповсюджується хвиля, непровідне з постійними діелектричною і магнітною проникностями.

Беремо за цих умов систему рівнянь Максвелла



, , ,

і розписуємо її по компонентах вздовж осей



(1) (4)

(2) (5)

(3) (6)

(7) (8).

Врахуємо, що всі частинні похідні по і по дорівнюють нулю.



(1) (4)

(2) (5)

(3) (6)

(7) (8).

З рівнянь (1) і (8) випливає, що не залежить ні від часу , ні від (і, звісно, не залежить від і ). Звідси випливає, що , тобто вздовж осі може існувати тільки постійне електричне поле. Це поле ніяк не впливає на електромагнітну хвилю, пов’язану тільки із змінними полями. Тому без втрати загальності можна вважати, що .

З рівнянь (4) і (7) випливає, що . Аналогічно можна вважати, що .

Звідси випливає, що якщо електромагнітна хвиля розповсюджується вздовж осі , то електрична і магнітна складові поля з точністю до сталої відсутні вздовж цієї осі.



.

Ми прийшли до другої властивостіелектромагнітної хвиліелектромагнітна хвиля строго поперечна : вектори і перпендикулярні до швидкості хвилі :



, ,

поздовжніх складових у електромагнітної хвилі немає.

Об’єднаємо рівняння (2) і (6), а також (3) і (5)

; .

З цих систем випливає, що взаємопов’язані і , а також і , тобто взаємно перпендикулярні складові векторів і . Наприклад, якщо вектор направлений вздовж осі , тобто , а (про компоненту ми вмовились, в електромагнітній хвилі вона відсутня), то з другої системи випливає, що , , значить, , а отже . Аналогічно, якщо вектор направлений вздовж осі , тобто , а , то з першої системи випливає, що , , значить, , а отже . Це означає, що вектори і взаємно перпендикулярні третя властивість електромагнітної хвилі







.

Разом з поперечністю електромагнітної хвилі цей результат говорить про те, що три вектори утворюють ортогональну трійку векторів.



Зв’язок між напруженістю електричної і магнітної компоненти поля

в електромагнітній хвилі

Тепер з двох пар рівнянь можна вибрати одну, наприклад, першу, і випустити індекси



,

пам’ятаючи при цьому, що вектори ортогональні.

Коли ми розв’язували одновимірне хвильове рівняння, то сказали, що розв’язком його можуть бути функції вигляду

, ,

де швидкість розповсюдження хвилі в середовищі. Підставимо ці розв’язки в одне з рівнянь системи,



,

або


.

Тут штрихом позначена похідна по всьому аргументу . Замість швидкості підставимо у множник вираз для неї



,

або


.

Проінтегруємо це рівняння



.

При цьому константа не залежить ні від координат , ні від часу , вона виражає довільне постійне поле, а ми його у електромагнітній хвилі не враховуємо. Тому можна вважати, що вона дорівнює нулю.



Таким чином,

маємо співвідношення між абсолютними величинами векторів і . Це дає нам четверту властивість електромагнітного поля. Для вакууму .



Із четвертої властивості випливає наслідок, який є п’ятою властивістю електромагнітної хвилі. Ми показали, що два вектори і змінюються в часі і в просторі одночасно, тобто досягають екстремальних значень, проходять через нуль, змінюють свій знак одночасно, без зсуву по фазі. Тобто, вектори і змінюються синфазно.



Всі розглянуті особливості векторів і можна зобразити на рисунку, який представляє “миттєву фотографію” електромагнітної хвилі, біжучої вздовж осі . Це просторовий розподіл і для фіксованого моменту часу.

Наочно видно поперечність електромагнітної хвилі, перпендикулярність векторів і , співвідношення їх амплітуд, їх зміну в просторі і в часі без зсуву по фазі.

В системі СІ аналогічні викладки приводять до співвідношення

,

для вакууму , синфазність і , безумовно, зберігається.



Енергія електромагнітної хвилі. Густина енергії. Потік енергії.

Вектор Умова-Пойнтінга
Енергія електромагнітної хвилі обумовлена наявністю в ній магнітного та електричного полів, кожне з яких дає свій внесок у повну енергію. Густина енергії має вигляд

в системі CGSM;

в системі СІ.

Повна енергія хвилі



,

де об’єм, в якому існує електромагнітна хвиля. Використаємо співвідношення між напруженостями електричного і магнітного полів



,

тоді


.


VI


Звідси випливає шоста властивість електромагнітної хвилігустина енергії електричного і магнітного полів однакова
.
Ця енергія не стоїть на місці. Вона переміщується разом із векторами і .
Оскільки з електромагнітною хвилею пов’язана енергія, і хвиля рухається із швидкістю в просторі, то можна говорити про потік енергії через поверхню, яка знаходиться на шляху хвилі.



Розглянемо площадку , нормаль до якої утворює кут з вектором швидкості електромагнітної хвилі. Побудуємо на циліндр, твірна якого паралельна вектору і має довжину , де час, за який ми будемо розглядати розповсюдження хвилі.

Тоді за час вся енергія хвилі, яка знаходиться всередині циліндру, пройде через . Вона становитиме



,

де об’єм косокутного циліндру, побудованого на площадці . Тоді повні енергія має вигляд



.

Величина



,

очевидно, є кількість електромагнітної енергії, яка переноситься за 1 с через одиничну площадку, перпендикулярну до напряму розповсюдження хвилі (тобто коли , а ). Цей вектор направлений в нашому випадку вздовж напрямку вектору швидкості . Позначимо його


VIIШШШ

.

Векторний добуток для електромагнітної хвилі направлений вздовж , оскільки вектори утворюють ортогональну трійку векторів.

В системі СІ

.

Введений таким чином вектор називається вектором Умова-Пойнтінга (або за кордоном його називають просто вектором Пойнтінга). Російський фізик Микола Олексійович Умов в 1874 році у своїй докторській дисертації “Уравнения движения энергии в телах” ввів поняття про швидкість і напрямок руху енергії, тобто потоку енергії. Ідеї Умова суттєво вплинули на подальший розвиток фізики. Зокрема англійський фізик Джон Генрі Пойнтінг застосував ідеї Умова до електромагнітного поля.

Підставимо вираз для вектора Пойнтінга у вираз для енергії

.

Ми отримали сьому властивість електромагнітної хвилі. Вектор Пойнтінга – це кількість енергії, яка проходить за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напрямку розповсюдження електромагнітної хвилі, тобто вектор Пойнтінга – це потік енергії.



Теорема Пойнтінга
Вектор Пойнтінга можна ввести для більш загального випадку, доводячи так звану теорему Пойнтінга.

Нехай є деякий об’єм з поверхнею , яка заповнена речовиною з діелектричною проникністю і магнітною проникністю . В об’ємі можуть існувати електричні та магнітні поля, струми провідності. Енергія електричного та магнітного полів в об’ємі



може змінюватися з часом. Вважаючи, що об’єм і його поверхня з часом не змінюються, одержимо



.

Продиференціюємо густину енергії за часом



; .

Похідні за часом можна знайти з рівнянь Максвелла.



;

.

Тоді


.

Скористаємось формулами векторного аналізу (штучно)



.

Звідси випливає, що



,

звідки


Останній інтеграл можна перетворити на поверхневий



.

Так і проситься формально, невідомо чому, ввести вектор



,

тоді


.
Ми отримали кількісне формулювання теореми Пойнтінга.

Подивимось на фізичний зміст того, що ми отримали. Енергія в об’ємі змінюється за рахунок двох процесів.



Перший з них протікає в об’ємі, приводячи завжди до зменшення енергії (знак мінус перед інтегралом) та визначається величиною теплом Джоуля-Ленца, яке виділяється в одиниці об’єму за 1 с. Це тепло пов’язане із протіканням струмів провідності.

Другий доданок – вихід енергії з об’єму через поверхню . Тоді введений нами вектор є густина потоку енергії через поверхню, тобто кількість енергії, яка проходить за 1 с через одиницю поверхні, орієнтованої перпендикулярно до . Це – вектор Пойнтінга, розглянутий нами раніше. Відзначимо, що знак другого інтеграла у виразі для залежить від знака скалярного добутку , де кут між вектором Пойнтінга і . Якщо , тобто вектор утворює гострий кут з ортом зовнішньої нормалі до поверхні, то енергія витікає з об’єму , і завдяки цьому процесу енергія зменшується , якщо ж , то енергія входить в об’єм .

При доказі теореми Пойнтінга ми не користувалися властивостями електромагнітних хвиль. Завдяки цьому можна говорити про потік електромагнітної енергії в будь-яких електричних та магнітних полях, навіть статичних. Цей потік буде характеризуватися вектором Пойнтінга . Розглянемо в зв’язку з цим три приклади, які, можливо, дозволять зруйнувати деякі стереотипи, які відносяться до напряму руху енергії.



Задачі на знаходження вектору Пойнтінга

Прямий циліндричний провід з постійним струмом. Довжина проводу , радіус , густина струму , струм рівномірно розподілений по перерізу.



На поверхні проводу існує електричне поле постійного струму, яке за законом Ома дорівнює

, де питома провідність, а питомий опір проводу. Навколо проводу існує постійне магнітне поле

.

Вектор Пойнтінга направлений за нормаллю до бічної поверхні всередину проводу і дорівнює



.

Енергія, що входить у провід через його бічну поверхню за 1 с



,

де об’єм провідника, сила струму у провіднику, падіння напруги на ньому.

Величина тепло Джоуля – Ленца, яке виділяється кожну секунду в об’ємі. Таким чином, енергія, необхідна для компенсації витрат на тепло Джоуля – Ленца входить в провід не через його торець, як можна було очікувати, а через бічну поверхню з електромагнітного поля, що оточує провід з постійним струмом. Якщо тепер струм у проводі почне зменшуватися, то енергія поля буде за рахунок явища електромагнітної індукції намагатися підтримати струм. При включенні струму необхідно створити в оточуючому провід просторі запас енергії електромагнітного поля.



Плаский конденсатор з пластинами круглої форми. Радіус пластин , відстань між ними , , отже крайовими ефектами можна знехтувати. Всередині пластин знаходиться діелектрик з діелектричною проникністю . Йде зарядка конденсатору.

На його краю існує вектор , який змінюється з часом, всередині конденсатору протікає струм зміщення з густиною



.

Цей струм створює на краю конденсатору магнітне поле



(див. попередній приклад). Вектор Пойнтінга



.

Цей вектор направлений всередину конденсатора вздовж радіуса. За час через бічну поверхню входить енергія



,

де об’єм конденсатора. Якщо під час зарядки конденсатора поле в ньому змінюється ві 0 до , то



,

де ємність конденсатора, площа пластин конденсатора, напруга на ньому. Таким чином, енергія входить в конденсатор через його бічну поверхню між пластинами.



Коаксіальний кабель. Радіус внутрішньої жили і оплітки , з постійним струмом та різницею потенціалів між обкладками .

Струм і різниця потенціалів не залежать від часу. Всередині кабелю електричне поле направлене вздовж радіусу



,

заряд, що припадає на одиницю довжини.

Магнітне поле



.

Вектор Пойнтінга направлений вздовж осі кабелю і становить



.

Через переріз кабелю за 1 с проходить енергія



.

Але в електростатиці, визначаючи розподіл потенціала всередині коаксіального кабеля, ми отримали



,

отже


.

Енергія рухається вздовж осі кабелю від її джерела до споживача, приєднаного до джерела через кабель.



  1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка