До кожного завдання наведено зразок його виконання



Скачати 299.81 Kb.
Дата конвертації30.12.2016
Розмір299.81 Kb.
Вступ

В цьому семестрі Ви повинні виконати контрольні роботи з розділів: «Лінійна і векторна алгебра» (К.Р. №1), «Аналітична геометрія» (К.Р. №2), «Вступ до математичного аналізу» (К.Р. №3).

Перш ніж виконувати контрольну роботу, необхідно спочатку проробити відповідні теоретичні питання, що викладені у запропонованому курсі лекцій, або наявній у Вас літературі з курсу вищої математики. Перелік питань з кожного розділу нижче.

Далі необхідно розв’язати задачі, що запропоновані для самостійної роботи відповідно до свого варіанта (номер варіанта співпадає з номером у списку в аудиторному журналі).

До кожного завдання наведено зразок його виконання.

Для допуску до іспитів необхідно виконати всі запропоновані для самостійної роботи завдання та виконати контрольні роботи.



Зразок виконання контрольних робіт дано після тексту відповідної контрольної роботи.

  1. Теоретичні питання.

Елементи лінійної алгебри

  1. Матриці, їх види. Дії з матрицями.

  2. Визначник матриці, його властивості, обчислення.

  3. Обернена матриця. Необхідна і достатня умова існування оберненої матриці.

  4. Система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими, її матричний запис та розв’язок.

  5. Формули Крамера.

  6. Система однорідних лінійних рівнянь.

Елементи векторної алгебри

  1. Лінійні операції над веторами.

  2. Лінійна залежність та залежність векторів.

  3. Базис на площині та у просторі.

  4. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій.

  5. Вектор в системі координат.

  6. Модуль вектора. Напрямні косинуси.

  7. Скалярний добуток векторів, його властивості та вираз у координатах.

  8. Векторний добуток векторів, його властивості та вираз у координатах.

  9. Мішаний добуток векторів, його властивості та вираз у координатах.

  10. Умови колінеарності та компланарності векторів.

Аналітична геометрія

  1. Полярна система координат.

  2. Пряма на площині. Різні види рівняння прямої на площині. Відстань від точки до прямої.

  3. Криві другого порядку – еліпс, гіпербола, парабола. Їхні канонічні рівняння, властивості.

  4. Рівняння площини за точкою та нормальним вектором.

  5. Рівняння площини у «відрізках».

  6. Взаємне розташування двох площин.

  7. Рівняння площини через три точки.

  8. Відстань від точки до площини.

  9. Пряма у просторі. Канонічні та параметричні рівняння прямої.

  10. Поверхні другого порядку.

Вступ до математичного аналізу

  1. Функція. Область визначення. Способи задання функції.

  2. Основні елементарні функції, їх графіки.

  3. Означення границі послідовності та її геометричне тлумачення.

  4. Властивості границь (границя сталої, про знак границі, про обмеженість функції, що має границю).

  5. Зв'язок нескінченно малої і нескінченно великої функцій.

  6. Властивості нескінченно малих.

  7. Перша важлива границя.

  8. Друга важлива границя (4 форми).

  9. Порівняння нескінченно малих.

  10. Еквівалентні нескінченно малі та їх властивості.

  11. Неперервність функції в точці (два означення).

  12. Дії над неперервними функціями. Неперервність елементарних функцій.

  13. Класифікація точок розриву.

  14. Властивості функцій, неперервних на відрізку.



  1. Методика розвязання задач та завдання для самостійного розвязання

  1. Лінійна та векторна алгебра.

Задача 1.1 Обчислити визначник:

Розвязання. Це визначник 4-го порядку. Користуючись властивостями визначника перетворимо його.



Далі розкладаємо одержаний визначник за елементами 4-го стовпця.



Відповідь:

Завдання 1.1. для самостійної роботи

Обчислити визначник:




Розвязання:

Задача 1.2. Дано матриці: .

Знайти добуток матриць , якщо вони існують.

Розв’язання. Перемножити можна тільки сумісні матриці – число стовпців першої матриці-співмножника дорівнює числу рядків другої. Отже, існують тільки добутки .





не існує, бо рядок матриці С складається з трьох елементів, а стовпець матриці А – з двох.



не існує, бо в рядку матриці D один елемент, а у стовпці матриці А – два елементи.

Завдання 1.2 для самостійної роботи

Дано матриці A, B, C, D. Знайти добутки , якщо вони існують.

, , , ,

Розвязання.

Задача 1.3. Знайти обернену матрицю для матриці:

Розвязання. Користуючись формулою , знайдемо



.

, , , , , , , , , .

, ,

Перевірка:

Відповідь:

Завдання 1.3. Знайти обернену матрицю для матриці: ,

Розв’язання.

Задача 1.4. Запишіть матриці заданих систем рівнянь. Чи сумісні задані системи? Якщо сумісні, то розв’язати їх. Систему завдання б) розв’язати за формулами Крамера; матричним способом; методом Гаусса. Зробити перевірку.

,

Розв’язання. Матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь складається з коефіцієнтів при невідомих:



.

Оскільки визначник системи не дорівнює нулю, то дана система сумісна і має єдиний розв’язок.



Визначник системи:



Отже, ця система теж сумісна і має єдиний розв’язок.

Завдання 1.4. для самостійної роботи

Запишіть матриці заданих систем рівнянь. Чи сумісні задані системи? Якщо сумісні, то розв’язати їх за формулами Крамера; матричним способом; методом Гаусса. Зробити перевірку.



,

Розвязання.



Задача1.5. Дано точки і . Зобразити в системі координат вектор ; знайти . Який кут утворює вектор з віссю Оу?

Розвязання. Побудуємо точки А і В за їх координатами (рис. 1).

Знайдемо координати :

.

Знайдемо косинус кута між вектором і віссю Оу: , .

Примітка: якщо знайдений косинус виявляється від’ємним , то .

Завдання 1.5. Для самостійної роботи

Дано точки і .

Зобразити в системі координат вектор , знайти . Які кути утворює з осями координат відповідно Ох, Оу, Оz ?

Розвязання.

Задача 1.6. Дано вектори і . Знайти: а) , б), в) , г) орт вектора .

Розвязання. а) скалярний добуток визначається за формулою:



, де - координати вектора , - координати вектора . Отже, .

б) векторний добуток знаходимо за формулою , де - орти (одиничні вектори) осей координат відповідно Ох, Оу, Оz.



Отже, .

в) проекція вектора на напрямок вектора визначається через скалярний добуток: . В нашому випадку , .

г) орт вектора знаходиться за формулою . Треба вектор скоротити в разів. Для цього необхідно кожну координату вектора розділити на його модуль.



,

Примітка: координати орта дорівнюють напрямним косинусам вектора.

Завдання 1.6. для самостійної роботи

Дано вектори і . Знайти: а) , б), в) , г) орт вектора .



Розвязання.

Задача 1.7

По координатам точок , , знайти:



  1. модуль вектора ;

  2. скалярний добуток векторів і ;

  3. проекцію вектора на вектор ;

  4. координати точки М, яка ділить відрізок у відношенні 1:3.

Розв’язання.

  1. Знаходимо послідовно ; ; ,

  2. Маємо ; . Тоді

  3. Так як ; ; ; ; ;

  4. Маємо , . Значить ; ; ; .

Завдання 1.7. для самостійної роботи

По координатам точок , , знайти:



  1. модуль вектора ;

  2. скалярний добуток векторів і ;

  3. проекцію вектора на вектор ;

  4. координати точки М, яка ділить відрізок у відношенні 1:k.

k – номер студента в групі.

Розв’язання.

Задача 1.8

Дано вектори , , . Необхідно:


  1. обчислити добуток векторів ;

  2. знайти модуль векторного добутку ;

  3. обчислити скалярний добуток веторів ;

  4. перевірити, чи будуть колінеарні або ортогональні вектори ;

  5. перевірити, чи будуть компланарні ветори .

Розв’язання

  1. Так як , , , , то

  2. Так як , , , то ;



  1. Знаходимо , . Тоді

  2. , . , то вектори не колінеарні.

  3. Вектори компланарні, якщо ; , значить вектори некомпланарні.

Задача 1.8 для самостійної роботи

Дано вектори , , . Необхідно:



  1. обчислити добуток векторів ;

  2. знайти модуль векторного добутку ;

  3. обчислити скалярний добуток веторів ;

  4. перевірити, чи будуть колінеарні або ортогональні вектори ;

  5. перевірити, чи будуть компланарні ветори .

Розв’язання

Задача 1.9.

Вершини піраміди знаходяться в точках , , , . Обчислити:



  1. площу грані АВС;

  2. об’єм піраміди ABCD.

Розв’язання

  1. Відомо, . Знайдемо: , ,

Маємо , .

  1. Так як , , , , . Значить .

Задача 1.9. для самостійної роботи

Вершини піраміди знаходяться в точках , , , . Обчислити:



  1. площу грані АВС;

  2. об’єм піраміди ABCD.

Розв’язання

Задача 1.10.

Сила прикладена до точки . Обчислити:



  1. роботу сили у випадку, коли точка її прикладання, рухаючись прямолінійно, переміщається із положення А в положення ;

  2. модуль момента сили відносно точки В.

Розв’язання

  1. Момент сили , , . Значить

Задача 1.10. для самостійної роботи

Сила прикладена до точки . Обчислити:



  1. роботу сили у випадку, коли точка її прикладання, рухаючись прямолінійно, переміщається із положення А в положення ;

  2. модуль момента сили відносно точки В.

Розв’язання

  1. Аналітична геометрія.

Задача 2.1. Задано прямі на площині: (1), (2).

Знайти:


  1. їх кутові коефіцієнти і ;

  2. нормальні вектори і ;

  3. кут між прямими;

  4. відрізки, що відтинають прямі на осях координат;

  5. побудувати ці прямі.

Розв’язання.

  1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд . Розвяжемо (1), (2) відносно у: (1’) ; (2’) . Отже, ; .

  2. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд , де коефіцієнти А і В є координати нормального вектора до прямої: .

, .

  1. Кут між прямими можна знайти, або за кутовими коефіцієнтами за формулою , або за нормальними векторами: .

. Оскільки одержали від’ємне число, то ми знайшли тупий кут (більший з двох суміжних кутів). . Гострий кут буде складати .

.



  1. Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд , де і відповідно відрізки, що відтинає пряма на осях координат.

Запишемо задані рівняння у відрізках (перенесемо вільний член у праву частину та поділимо обидві частини рівняння на нього):



  1. Побудуємо прямі за відрізками на осях (рис. 2).

Для побудови прямої за її рівнянням досить знайти будь-які її дві точки. Найзручніше знаходити точки перетину з осями координат. Для цього задати (рівняння осі Ох) і знайти точку (а – відрізок, що відтинає пряма на осі Ох), потім задати (рівняння осі Оу) і знайти точку ( - відрізок, що відтинає пряма на осі Оу).

Якщо рівняння прямої не містить вільного член (С=0), то пряма проходить через початок координат. У цьому разі достатньо знайти ще одну точку прямої, задавши зручне значення знайти .

Завдання 2.1. для самостійної роботи.

Для заданих прямих (1), (2) на площині знайти:



  1. їх кутові коефіцієнти і ;

  2. нормальні вектори і ;

  3. кут між прямими;

  4. відрізки, що відтинають прямі на осях координат;

  5. побудувати ці прямі.

Розв’язання.

Задача 2.2. Дано точки , , . Скласти рівняння прямої і прямої, що проходить через точку С перпендикулярно до .

Розв’язання. Рівняння прямої, що проходить через точку і має вигляд:



.

Звідки рівняння : .

Рівняння прямої, що проходить через точку С можна одержати двома способами:


  1. Скористаємось рівнянням прямої ха точкою та кутовим коефіцієнтом .

Шукана пряма до , за умовою перпендикулярності .

, отже , ми одержуємо рівняння .

  1. Скористаємось рівнянням прямої за точкою та нормальним вектором.

, де .

Оскільки шукана пряма до , то за нормальний вектор можна взяти .



. Одержимо рівняння .

Завдання 2.2. для самостійної роботи.

Дано точки , , .

Скласти рівняння прямої і прямої, що проходить через точку С перпендикулярно до .

Розв’язання.

Задача 2.3.



Дано вершини трикутника АВС: , , . Знайти:

  1. рівняння сторони АВ;

  2. рівняння висоти СН;

  3. рівняння медіани АМ;

  4. точку перетину медіани АМ і висоти СН;

  5. відстань від точки С до прямої АВ;

  6. кут між прямими АВ і АС;

  7. рівняння прямої, що проходить через вершину С, паралельно прямій АВ.

Розв’язання

  1. Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки: і одержимо рівняння сторони АВ: ; ; Звідки ; ; .

  2. Скористаємося рівнянням . Кутовий коефіцієнт прямої АВ: , , . Враховуючи умову перпендикулярності прямих АВ і СН: , . За точкою і кутовим коефіцієнтом складаємо рівняння висоти СН: , , .

  3. За відомими формулами , знаходимо координати х, у середини М відрізка ВС: , , . Тепер за двома відомими точками , складаємо рівняння медіани АМ: , , , , , , .

  4. Для знаходження координат точки N перетину медіани АМ і висоти СН складаємо систему рівнянь: або . Розв’яжемо дану систему за формулами Крамера: , , , , . Значить

  5. Скористаємося формулою відстані від точки до прямої: , маємо що точка , пряма АВ: і відстань .

  6. Для знаходження кута між прямими АВ і АС скористаємося рівняннями цих прямих:

АВ: ;

AC: , , , , , , .

Кут між прямими приймають кут між їх нормалями: , . Тоді , , , .


  1. Скористаємося формулою . Так як прямі, що паралельні, мають однакові кутові коефіцієнти, то . Значить, , так як , , .

Задача 2.3. для самостійної роботи.

Дано вершини трикутника АВС: , , . Знайти:



  1. рівняння сторони АВ;

  2. рівняння висоти СН;

  3. рівняння медіани АМ;

  4. точку перетину медіани АМ і висоти СН;

  5. відстань від точки С до прямої АВ;

  6. кут між прямими АВ і АС;

  7. рівняння прямої, що проходить через вершину С, паралельно прямій АВ.

Розв’язання

Задача 2.4.

Дано чотири точки , , , .

Скласти рівняння:



  1. площини

  2. прямої

  3. прямої , перпендикулярної до площини

  4. прямої ,що паралельна прямій

Обчислити:

  1. синус кута між прямою і площиною

  2. косинус кута між площиною і площиною

Розв’язання

  1. Використаємо формулу рівняння площини, що проходе через три точки і складаємо рівняння площини :

, , , , ,

; - рівняння площини

Перевірка. Підставимо у одержане рівняння координати однієї із точок, наприклад, ; ; - значить рівняння записано вірно.

  1. Врахуємо рівняння прямої, що проходить через дві точки:

Тоді рівняння прямої можна записати у вигляді

  1. Із умови перпендикулярності прямої і площини випливає, що напрямний вектор прямої можна взяти нормальний вектор площини .

Тоді рівняння прямої з врахуванням канонічного рівняння прямої ; , врахуємо, що точка

  1. Так як пряма паралельна прямій , то їх напрямні вектори можна вважати співпадаючими: . Тоді рівняння прямої має вигляд:

  2. Якщо площина задається рівнянням , , а пряма задається рівнянням , , то кут між прямою і площиною визначається за формулою:

Тоді з рівняння прямої : або , . А з рівняння площини ; .

Тоді



  1. Запишемо рівняння площини :

; ; , , , - рівняння площини ;

. Перевірка. ,

Якщо площини задані своїми рівняннями , і , , то кут між площинами обчислюється за формулою: .

Тоді з рівнянь площин , і , . .

Задача 2.4. для самостійної роботи.

Дано чотири точки , , , .

Скласти рівняння:



  1. площини

  2. прямої

  3. прямої , перпендикулярної до площини

  4. прямої ,що паралельна прямій

Обчислити:

  1. синус кута між прямою і площиною

  2. косинус кута між площиною і площиною

Розв’язання

Задача 2.5.

Знайти точку перетину прямої і площини .

Розв’язання

Запишемо параметричні рівняння прямої:



; ; ; ; ;

Підставимо значення , , у рівняння площини і знайдемо параметр t: ; ; ; . Тоді точка - точка перетину прямої і площин.

Задача 2.5. для самостійної роботи.

Знайти точку перетину прямої, що проходить через точки ; і площини.

Розв’язання

Задача 2.6.

Пряма задана загальним рівнянням

Записати її канонічне рівняння.

Розв’язання

Знаходимо вектори нормалі кожної площини ; . Знаходимо напрямний вектор нашої прямої:



Знаходимо точку, що належить нашій прямій, із системи:

Нехай . Тоді , ;

Точка лежить на даній прямій. Її канонічне рівняння має вигляд:



Задача 2.6. для самостійної роботи.

Пряма задана загальним рівнянням

Записати її канонічне рівняння.

Розв’язання

Задача 2.7. Які лінії визначаються рівняннями:











Побудуйте ці лінії, вкажіть їх параметри.

Розв’язання.



Це лінії другого порядку, бо визначаються рівняннями другого степеня. Для визначення параметрів лінії та побудови її треба рівняння звести до канонічного вигляду.

- еліпс з вершиною в точці , і - півосі.

- гіпербола з центром у точці , - дійсна піввісь, - уявна. Фокуси лежать на осі Ох. , , асимптоти: .

- парабола з вершиною у точці , вісь симетрії паралельна Оу, р – параметр (відстань від бісектриси до фокуса).

- парабола з вершиною у точці , вісь симетрії паралельна Ох, р – параметр.

  1. - парабола з вершиною , параметр , вісь симетрії Оу, фокус лежить на осі Оу на відстані від вершини . Точки і (допоміжні для побудови лінії) віддалені від фокуса на відстань р=1 (за основною властивістю параболи).

  2. . Для зведення до канонічного вигляду виділимо повний квадрат при х:

- це рівняння кола з центром , .

  1. (поділимо на 36) - еліпс з центром , півосі (по осі Ох) і (по осі Оу) (рис. 5).

  2. . Це канонічне рівняння гіперболи з центром , півосі , . Фокуси на осі Ох, , , .

Асимптоти: , . (рис. 6).

Завдання 2.7. для самостійної роботи.



Які лінії визначаються заданими рівняннями? Побудуйте ці лінії, вкажіть їх основні параметри.

Розв’язання.





~ ~



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка