Аналіз типових ланок (лекції №16,17)



Скачати 99.63 Kb.
Дата конвертації03.04.2017
Розмір99.63 Kb.
Основи автоматизації виробництва

Спеціальність – 7.05050201 „Технологія машинобудування”




Лекції №16,17


Тема№7: Типові динамічні ланки
План:

1. Класифікація типових ланок (лекція №16)

2. Аналіз типових ланок (лекції №16,17)
1.У попередніх лекціях елементи автоматичних систем ми класифікували по функціональним ознакам, тобто за призначенням. Таке поділення елементів зручно, наприклад, при вивченні пристрою та взаємодія їх в автоматичній системі. Однак подібна класифікація не завжди доцільна. Більш зручно елементи класіфікувати за їх динамічними властивостями, оскільки однією з найважливіших задач теорії автоматичного керування є вивчення динамічних процесів у автоматичних системах. В цьому випадку зручним є принцип класифікування елементів по ланкам, які являються своєрідними “кирпичами”, із яких будується “будівля” динаміки автоматичних систем.

Динамічною ланкою, або просто ланкою, називається елемент (частина) автоматичної системи, який має визначені динамічні властивості. Розглянемо в якості прикладу електричний ланцюг та механічну систему. Електричний ланцюг(див.рис.1) складається з опору R, ємності C та індуктивності L. При наявності зовнішньої напруги U динамічні процеси в електричному ланцюгу описуються диференціальним рівнянням доругого порядку:
Ld2q/dt2 + Rdq/dt + (1/C)q=U (1)
де q – заряд ємності C.

Механічна система (див.рис.1) складається з твердого тіла М, пружини П та демпфера Д. При наявності зовнішньої сили f диференціальне рівняння динамики механічної системи має вигляд:


md2x/dt2 +λdx/dt + cx= f (2)
де x - переміщення тіла М; m-маса тіла М; λ - коефіцієнт сили демпфера Д; с-коефіцієнт жорсткості пружини П.

Рис.1


Таким чином, рівняння динаміки електричного ланцюга та механічної системи являються однотипними. З цього можна зробити висновок, що динамічні процеси у обох системах, незважаючи на різну їх фізичну природу, є східними. Іншими словами, електричний ланцюг та механічна система являються ланками одного типу.

Таким чином, незважаючи на велику різноманітність елементів, які відрізняються між собою по фізичній природі, конструктивному оформленню, потужності, виду споживаємої енергії і т.і., можна виділити всього декілька типових ланок.

За типові ланки мабуть доцільно прийняти такі, які можуть служити основою для побудови будь-яких інших ланок, які зустрічаються на практиці. Звичайно за основу приймають ланку, яка має одну степінь вільності. Математичні процеси в такій ланці описуються диференціальним рівнянням другого порядку:
а2d2xвих/dt2 + a1dxвих/dt + a0xвих = b2d2xвх/dt2 + b1dxвх/dt +b0xвх, (3)
де xвх та xвих - відповідно вхідна та вихідна величини; aі та bі -постійні коефіцієнти.

Якщо прийняти це рівняння за вихідне, то легко вивести рівняння різних типових ланок.

Типові ланки являються ланками направленої дії: сигнали передаються ланкою в одному напрямку – зі входа на вихід. При змінені вхідного сигналу змінюється і вихідний; якщо вхідний сигнал не змінюється, не повинен змінюватися і вихідний сигнал. Для того, щоб елемент автоматичної системи відображався ланкою направленої дії, необхідно враховувати навантаження на його виході. При зєднанні ланок направленої дії вони зберігають свої попередні властивості.

Типові ланки поділяються на без інерційні, інерційні, коливальні, інтегруючі, диференціюючи, інтегро диференціюючи та запізнюючі.



2.Розглянемо аналіз типових ланок, які знайшли найбільше застосування у засобах автоматизаціі у процесах машинобудування – це інерційна, без інерційна та коливальна.

1). Безінерційна ланка.

Ланку прийнято називати без інерційною, якщо зв'язок між входом та виходом ланки визначається алалгебраїчним рівнянням виду:
хвих =kxвх., (4)
де k – коефіцієнт підсилення ланки; xвх, хвих - відповідно вхідна та вихідна його величини.

Цю ланку інколи також називають підсилюючою.

Очевидно, що характер зміни в часі вихідної величини при подачі на вхід збурення, яке дорівнює xвх =const = A(1), буде визначатися рівнянням (4). Графічно ця залежність наведена нижче:

Рис. 2


Прикладом конструктивного виконання такої ланки можуть бути електронна підсилююча лампа, важіль, механічний редуктор (див.рис.1 а,б,в):

Рис.3
Передавальна функція безінерційної ланки може бути записана як відношення вихідної величини до вхідної в наступному вигляді:


W(s) = k (5)
Її частотна функція буде мати вигляд:
W(jω) = k (6)
Модуль цього виразу:
│W(jω) │= k (7)
Фазовий кут:
θ(ω) = arctg0 = 0 (8)
Амплітудно-фазова характеристика без інерційної ланки, яка побудована по виразу (5), та амплітудно-частотна характеристика, тобто залежність модуля W від частоти, наведені нижче:

а)

б)

Рис.4
У відповідності до виразу (5) можна визначити і вигляд логарифмічної характеристики:


L(ω)=20lgk, θ = 0 (9)
Тобто амплітудна характеристика представляє собою пряму, яка паралельна вісі абсцис на відстані 20lgW від неї, а фазова характеристика показує відсутність фазового зсуву:

Рис. 5


2). Інерційна ланка

Ланка називається інерційною або аперіодичною, якщо зв’язок між входом та виходом ланки визначається диференціальним рівнянням:


Tx’вих + xвих = kxх. (10)
де Т- постійна часу ланки.

Характер змінення в часі вихідної величини для інерційної ланки при вказаному вище збуренні та нульових початкових умовах легко отримати, інтегруючі рівняння (1).

Поклавши xвх = const=A(1), отримуємо:
хвих = kxх. [1- e –t/T ] (11)
Графіки цих залежностей наведені нижче:

Рис. 6


Друга з них представляє собою експоненту. Якщо така експонента отримана дослідним шляхом, то з неї легко визначити постійну часу ланки Т. Якщо відома величина, то коефіцієнт підсилення ланки буде дорівнювати відношенню сталого значення вихідної величини хвих с до вхідної величини, тобто:
k = хвих с /xвх (12)
В якості прикладу конструктивного виконання подібної ланки можна назвати ряд пристроїв: пасивний чотирьохполюсник, який складається із ємності та омічного опору або із індуктивності та омічного опору, термопара, магнітний підсилювач, електричний двигун (якщо вхідною величиною є напруга, а вихідною – кутова швидкість) і т.і.

Рис. 7
Передавальна функція інерційної ланки:


W(s)= k/Ts+1 (13)
Частотну функцію інерційної ланки отримаємо, якщо у виразі (13) замінимо s на jw. Тоді:
W(jω)=k/T(jω)+1 (14)
Із виразу (14) визначимо модуль та фазу вектора:
│W(jω) │=k/ (Tω)2 +1 (15)
θ(ω)=arctg(-ωT) (16)

Амплітудно-фазова характеристика для інерційної ланки , яка побудована за рівнянням (14) для додатніх значень частоти w , амплітудно-частотна та фазово-частотна характеристики наводяться нижче:


Рис. 8

Рис. 9
Знаючи, що частотна характеристика інерційної ланки:
W(jω)= A(ω) ejθ(ω) = (k/ T2 ω2 +1)e-j arctg(ω)T (17)
та логарифмуючи вираз (17), отримуємо:
ln W(jω)= ln k - ln T2 ω2 + 1 – j arctg(ωT)
Позначивши відповідно амплітудну та фазову характеристики через L(ω)=20ln A(ω) у децибелах та θ(ω) у градусах, можна написати, що
L(ω)=20lg k - 20lg T2 ω2 + 1 (18)

та

θ(ω) = - arctg(ωT) (19)


Як видно з рівняння (18), шукана логарифмічна амплітудна характеристика дорівнює сумі двох доданків, із яких перший представляє собою постійну величину. Таким чином, форма логарифмічної амплітудної характеристики не залежить від коефіцієнта підсилення ланки k. Змінення величини kприводе лише до переміщення характеристики по вісі ординат, тому для визначення виду амплітудної характеристики можна покласти k=1 і у відповідних випадках перемістити її на потрібну величину. Таким чином, при k = 1 20lgk=0 і відповідно:
L(ω) = -20lg T2 ω2 + 1 (20)
Аналіз виразу (20) показує, щодля побудови логарифмічної амплітудної частотної характеристики інерційної ланки з параметрами k та T потрібно провести пряму, яка паралельна вісі частот і яка відстоїть від неї на величину 20lgk до частоти ω=1/T, а з точки цієї прямої, яка відповідає частоті ω=1/T, провести пряму із нахилом, який дорівнює 20 дб/дек. Нижче наведені логарифмічні частотні характеристики цієї ланки:

Рис. 10
3). Коливальна ланка

Ланку називають коливальною, якщо зв'язок між вхідною та вихідною величинами визначаються рівнянням:
Tі2x''вих + T2 x'вих + xвих = kxвх

або (21)


T2x''вих + 2NTx'вих + xвих = kxвх

І при цьому дотримується умова:


T22 - 4T21 <0.

Інколи зустрічається інша форма рівняння:


x''вих + 2ω0 Nx'вих + ω20xвих = ω20kxвх (22)
В цих рівняннях Т1 = Т – постійна часу ланки, яка дорівнює 1/ω0;

Т2 - постійна часу ланки, яка дорівнює 2N/ω0; k – коефіцієнт підсилення ланки, який дорівнює відношенню встановлених значень вихідної та вхідної величин; N=T2/2T1 - постійна затухання ланки (степінь заспокоювання); ω0 - власна частота незатухаючих коливань ланки.

Якщо N=0, то коливання ланки будуть незатухаючими – ланка буде коливатися з частотою ω0 , чим і пояснюється термін “власна частота”. Таку ланку інколи називають консервативною.

Коливальна ланка отримується при навністі у ланці двох ємностей, здатних запасати енергію двох видів та взаємно обмінюватися цима запасами. При цьому звичайно одна ємність запасає кінетичну енергію, а інша – потенційну і процес обміну запасами енергії супроводжується переходом одного виду енергію в іншу і навпаки.

Якщо в процесі коливань запас енергії у ланці, отриманий на початку збурення, зменшується, то коливання затухають і ланка являється стійкою коливальною.

Прикладом конструктивного виконання стійкої коливальної ланки можуть бути: конічний відцентровий тахометр, електричний контур, який складається із ємності, індуктивності та омічного опору, маса, яка підвішена на пружині і яка має заспокоюючий пристрій (див.рис.11):


Рис. 11


Характер змінення в часі вихідної величини для коливальної ланки, яка описується рівнянням (21), можна визначити, інтегруючи це рівняння. вважається, як і раніше, що

хвх = const = A(1).


Характеристичне рівняння для першого рівняння (21) буде мати вигляд:
T21s2 + T2s + 1=0 (23)
Корні характеристичного рівняння (23) знаходяться по відомій формулі:
s1.2= (-T2 ± T22 + 4T21)/2T1 (24)
Так як було прийнято, що параметри ланки такі, що виконується нерівенство:

Т22 - 4Т21 <0, (25)

то корені характеристичного рівняння (23) будуть комплексними з відємною речовою частиною і можуть бути записаними в наступному вигляді:
s1.2 = -a+jω,

де


-a=-T2 /2T1 та ω=(1/T1) 1- T22/4T21

При Т2 =0, а=0; ω=1/T1 = ω0

Перехідний процес у коливальній ланці може бути у загальному вигляді записаний так:
хвих(t)=A e-аt sin (ωt + φ) + xвих с (26)
Знаючи, що xвих с =kxвх, при нульових початкових умовах
A = -kxвх 1 + (ω/a)2

та


φ=arctg ω/a.
Тоді рівняння (26) можна записати так:
хвих(t)=kxвх[1 - 1+ ω2/a2 e-аtsin (ωt + arctg ω/a)] (27)
Вираз (27) характеризує затухаючий коливальний процес із затуханням, яке визначається речовою частиною а та частотою ω. Цей затухаючий процес при t → ∞ намагається до сталого значення kxвх.(див.рис.12).

Рис. 12
Як видно із рисунка, крива змінення Хвих(t) у відповідності з виразом (27) представляє собою затухаюче в часі синусоїдальне коливання. Однак коливальний перехідний процес (див.рис.13) у ланці, яка описується рівнянням (21), буде виникати лише тоді, коли виконується нерівність (25).


Рис. 13


Інакше при Т22 – 4Т21 > 0 корні s1,2 характеристичного рівняння (23) отримуються речовими та визначаються із нерівності (24). Рівняння перехідного процесу в цьому випадку має вигляд:
(28)
де А1 та А2 - постійні інтегрування;

k та xвх - мають значення, які визначені вище.

В цьому випадку перехідний процес вже не буде мати коливальний періодичний характер, а представиться аперіодичною кривою, яка показана на рис 14:

Рис.14


Ця крива змінення в часі ни при яких початкових умовах не може мати більше одного екстремума.

Ланка, яка описується рівнянням (21), якщо корені його характеристичного рівняння не являються комплексними, називають не коливальною, а інерційною ланкою другого порядку.

Така ланка може бути представлена як дві послідовно включені інерційні ланки і які описуються рівняннями виду (25).

Передавальна функція коливальної ланки, яка легко отримується з першого виразу (21), може бути записана так:


W(s) = k/ T21s2 + T2s +1 (29)
Частотна функція коливальної ланки має вигляд:
W(jω) = k/-T21ω2 + T2 (jω) +1. (30)
З виразу (30) можна знайти модуль та фазу вектора:
W(jω) = k/ (1-ω2T21)2 + ω2T22 (31)
θ(ω) = arctg( - ωТ2/1- ω2T21 ) (32)
Амплітудно-фазова характеристика для коливальної ланки,яка побудована по рівнянню (30), і її амплітудно-частотна характеристика наведені на нижче розташованих графіках ( див.рис.15, 16):

Рис. 15

Рис. 16
Амплітудно-частотна характеристика коливальної ланки А(ω) має максимум Аmax на резонансній частоті ωmax. Чим менше коефіцієнт затухання, тим більше Аmax. Коливальна ланка створює відємний зсув фаз, який змінюється від 0° при ω = 0 до -180° при ω = ∞.На частоті ω = 1/T (ω) θ = -90°

Наближені логарифмічні частотні характеристики коливальної ланки наведені нижче (див. рис.17):


Рис. 17
Аналіз всіх інших типових ланок (інтегруючої, діференціюючої, інтегро-диференціюючої та запізнюючої) виноситься на самостійну підготовку.



Підсумок:


Незважаючи на велику різноманіть елементів автоматичних систем, за динамічними властивостями їх можна розбити усього на декілька груп типових ланок. Таким чином, типові ланки дозволяють уніфікувати елементи автоматичних систем. Внаслідок цього методи теорії автоматичного керування являються універсальними та придатні для аналізу та синтезу автоматичних систеи будь-якої фізичної природи.Розчленування автоматичних систем на ланки дозволяє складати їх структурні схеми.

Контрольні питання:


  1. Що таке типова ланка?

  2. Класифікація типових ланок.

  3. Вміти дати характеристику кожній типовій ланці.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка